Geometria Pitagorica I - Poligoni Regolari - Sapienza Misterica

SAPIENZA MISTERICA
Vai ai contenuti

Geometria Pitagorica I - Poligoni Regolari

Arithmòs e Geometria Pitagorica

L'importanza della geometria nell'insegnamento misterico è affermata nell'epigrafe che era scolpita all’ingresso dell’Accademia di Platone: “Non entri chi non è geometra”. Plutarco ci tramanda il detto di Platone secondo cui “Dio sempre geometrizza”. Gli argomenti riguardanti la  geometria pitagorica sono stati divisi in quattro volumi: il primo volume riguarda le figure piane, i poligoni; il secondo volume riguarda gli irrazionali geometrici; il terzo volume riguarda i poliedri platomici, il quarto i poliedri di archimedei Questi volumi modificano e sostituiscono ampliandoli i due precedenti Geometria Pitagorica Arithmòn Árrethos, e Geometria Pitagorica Poliedri.

 
 

 
SULLE ORME DI PITAGORA - PLATONE
 
Platone fu in contatto con i Pitagorici di Taranto e di Siracusa, dove si recò più volte, nel corso della sua vita, per incontrarli. Ai tempi di Platone vi erano due grandi allievi di Pitagora, Filolao e Archita di Taranto, quest’ultimo impose la liberazione di Platone condannato a morte per le sue idee dal tiranno di Siracusa Dionigi II. In Giamblico, si legge del lucano Aresa successore di Pitagora; verso il 450, per le ripetute persecuzioni contro i Pitagorici, si sarebbe spostato da Crotone a Metaponto, poi a Tebe, dove era già attivo un circolo pitagorico avviato da Liside poi sepolto in quella città. A Tebe sarebbero stati discepoli di Filolao i pitagorici Simmia e Cebete, come leggiamo nel Fedone di Platone. Filolao avrebbe dimorato negli ultimi anni a Taranto dove, come dice Cicerone (L’oratore 34, 139), fu maestro di Archita.
 
Figura 1. Platone
 
 
Platone pur avendo un patrimonio familiare assai modesto, quando giunse in Sicilia, acquistò da Filolao per quaranta mine (10.000 denari) tre testi che riguardavano l’insegnamento di Pitagora[1]. Tale somma fu offerta a Platone, secondo alcuni, dal suo amico Dione Siracusano. Filolao aveva intitolato le tre parti del suo trattato con: “Del Mondo, Della Materia, Dell’Anima”. Dalle diverse testimonianze antiche e dalle analisi degli studiosi moderni si ricava che quasi certamente Filolao ha scritto delle opere, per alcuni una sola intitolata “Sulla natura o sul cosmo” oppure, divisa in tre libri dai titoli “Le Baccanti, Sull’Anima, Ritmi e misure”. Platone, sviluppò l’insegnamento di Pitagora, attingendo il materiale dai tre libri di Filolao sulla base del quale redasse poi il Timeo che ha come argomento principale l’Anima del Mondo. Ai tempi di Platone, poi, operarono i Pitagorici Teodoro di Cirene[2], e il suo giovane allievo Teeteto[3] che, all’Accademia, tenevano seminari su argomenti di aritmetica e geometria. Platone fu un ideale allievo di Pitagora, anzi, come osserva giustamente Siriano, il migliore dei Pitagorici, Platone è elencato fra i Pitagorici dell’età ellenistica per le Lettere spurie. Dalle notizie raccolte da Diogene Laerzio sembra che Platone abbia appreso l’insegnamento di Filolao perché, stando a quanto scrive Ermodoro, dopo la morte di Socrate a ventotto anni Platone si recò prima a Megara da Euclide, poi a Cirene dal matematico Teodoro e poi in Italia dai pitagorici Filolao ed Eurito. Cicerone[4] conferma scrivendo che: “Si dice che Platone imparato tutte le cose di Pitagora”.
 
Tu sai senz’altro che chi si occupa di geometria, di aritmetica e di altre questioni del genere, dà per scontato il pari e il dispari, le figure e i tre tipi di angoli, e altre cose del genere, a seconda della scienza che studia, e le assume come ipotesi, e non ritiene più necessario discuterle né con sé né con gli altri, prendendole come principi evidenti per tutti, e partendo appunto da tali principi, passa a trattare le altre questioni, ricavando di conseguenza in conseguenza la conclusione che si era proposto. – Questo lo so, disse. – E allora sai anche che si servono di figure visibili e su esse sviluppano delle dimostrazioni, ma non si riferiscono a queste figure, bensì alle cose cui esse somigliano: per esempio, discutono del quadrato in sé, della diagonale in sé, e non del quadrato, della diagonale o della figura che stanno tracciando; di queste figure, si servono come immagini per giungere a cogliere altre realtà, che sono in sé e per sé e che non si possono cogliere che con l’intelligenza[5].
 
Una tradizione tardo - antica ci tramanda che all’ingresso dell’Accademia di Platone era affissa l’epigrafe “Non entri chi non è geometra”. Il detto di Platone secondo cui “Dio geometrizza”, rispecchia perfettamente l’attività creatrice del Demiurgo magistralmente descritta nel Timeo, che cala i modelli intellegibili nella materia sensibile mediante le figure geometriche e i numeri, e corrisponde bene al motto che sarebbe stato scritto sul portone dell’Accademia[6]. Platone volle continuare l’impegno politico dei Pitagorici, fallito a Crotone, e perfettamente riuscito a Taranto per opera di Archita. Per Platone vera filosofia e politica coincidono, perché la politica consiste nel rendere l'anima più virtuosa, che è anche l'attività del filosofo. Per costruire lo stato ideale occorre che il politico diventi filosofo: “Philo-sophos, amante della saggezza” .
 
E i sapienti, invece, (Archita di Taranto e Filolao) dicono, Callicle[7], che a tenere insieme cielo e terra, dei e uomini, sono la comunanza, l’amicizia, l’ordine, la temperanza, la giustizia, e, proprio per questo, amico mio, essi danno a questo insieme il nome di “cosmo” (ordine), e non quello di acosmia ( disordine), né quello di dissolutezza. Ma mi pare che tu non presti attenzione a queste cose, e questo benché tu sia sapiente, e non ti sei accorto che l’uguaglianza geometrica ha grande potere fra gli dei e fra gli uomini, e pensi invece che si debba coltivare l’eccesso: infatti, tu trascuri la geometria[8].
 
In questo passo la geometria[9] è legata al concetto di uguaglianza e giusta proporzione, che caratterizza l’ordine dell’universo, il cosmo, e che, per analogia e necessità, si presta a suggerire il criterio del giusto equilibrio per la costituzione del Senato e per le norme da adottare per l’elezione dei suoi componenti.
 
La rivalutazione più sorprendente del pensiero Pitagorico e Platonico è giunta da recenti indagini dell’universo che indicano che l’universo può essere effettivamente un Dodecaedro, il Quinto solido platonico descritto nel Timeo. Secondo il gruppo di astrofisici dell’Osservatorio di Parigi, coordinato dal francese Jean-Pierre Luminet, l’universo avrebbe dei confini molto precisi e sarebbe racchiuso all’interno di 12 pentagoni curvi, le cui facce riflettendosi danno l’illusione di un universo infinito, mentre in realtà è finito[10]. I ricercatori lo definiscono: “Un semplice modello geometrico di uno spazio finito che si basa sullo spazio dodecaedrico di Poincare”. È sorprendente per gli studiosi moderni che Platone abbia utilizzato un Dodecaedro come la quintessenza per descrivere il cosmo! Platone ha inoltre affermato che il tempo ha avuto un inizio, ma che era riunito con l’universo in un istante della creazione.
 
Molti minerali cristallizzano con una forma, detta abito, che corrisponde a un poliedro. La pirite si può presentare con tre abiti diversi: con cristalli cubici, ottaedrici o aventi la forma di un dodecaedro non regolare. Nessun minerale ha però la forma di un icosaedro o dodecaedro regolare. E cosa dire di quei cristalli che, come il cloruro di sodio o il fluoruro di calcio, spontaneamente si dispongono in forma di poliedri regolari? I poliedri regolari sono le forme base della creazione, i cui interlacciamenti possono essere assunti a dimostrazione del detto “Dio geometrizza”.
 
[1] L’acquisto è confermato da Giamblico, in Vita Pitagorica, da Aulo Gellio nelle Notti Attiche, Libro III, Capitolo XVII, e da Diogene Laerzio, che afferma che Platone ricevette il libro per aver ottenuto la liberazione di un giovane discepolo di Filolao che era stato imprigionato da Dionigi tiranno di Siracusa; Aulo Gellio precisa inoltre che: “Anche che Aristotele comprò alcuni libri del filosofo Speusippo, dopo la morte di questi, per tre talenti attici, la qual somma, in nostra moneta, corrisponde a 70.000 sesterzi”.
[2] Sappiamo dal Teeteto, dialogo di Platone, che Teodoro di Cirene, insegnò la matematica pitagorica allo stesso Platone e a Teeteto. Fu allievo di Archita di Taranto e probabilmente Maestro di Platone, come suggerisce un passo di Cicerone.
[3] Per quanto riguarda l’indagine matematica, Teeteto si occupò, come Teodoro, del problema dell’irrazionale quadratico e di stereometria: probabilmente fu il primo ad applicare in stereometria i metodi di costruzione mediante la linea e il circolo, già introdotti nella planimetria. A Teeteto è attribuita anche la costruzione dei cinque poliedri regolari, di cui anche Platone parla nel Timeo.
[4] Cicerone Tusc. Disput. 1.17.39.
[5] Platone, Repubblica VI, 509d-511c.
[6] Accademia fu il nome con il quale fu conosciuta la scuola fondata da Platone ad Atene. All’interno della Scuola egli insegnò alcune dottrine che, a quanto ne riferisce Aristotele, differivano da quelle contenute nei suoi dialoghi, ed erano più profondamente influenzate dall’Insegnamento Pitagorico. Il nome Accademia deriva da quello di un bosco situato a nord ovest di Atene dedicato all’eroe Akademos. Nelle sue vicinanze, secondo la tradizione, nel 387 a.C. Platone acquistò un fondo e vi fondò la Scuola.
[7] Callicle era un giovane politico ateniese aristocratico e dalle idee antidemocratiche.
[8] Platone, Gorgia 508, a – b.
[9] La parola “geometria” deriva dalla fusione di due parole che in greco significano terra e misura quindi misurazione della terra. La Geometria è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme e delle loro mutue relazioni
[10] New Scientist (ottobre 2003).

CHAOS THEOS KOSMOS

Lo Spazio che non è contenuto ma che contiene tutto, è la personificazione primaria della semplice Unità. È l’Ignoto Contenitore di Tutto, la Causa Prima Sconosciuta. Il Chaos era chiamato dagli antichi privo di senno perché — il Chaos e lo Spazio essendo sinonimi — esso rappresentava e conteneva in sé tutti gli Elementi nel loro stato rudimentale e indifferenziato. Tuttavia questo Caos, per Platone ed i Pitagorici, divenne “l’Anima del Mondo”.  Secondo Platone, la più elevata Divinità costruì essa stessa l’Universo nella forma geometrica del dodecaedro, ed il suo “Primogenito” nacque dal Caos e dalla Luce Primordiale — il Sole Centrale.  

La Monade (l’Uno manifestato) è il principio di tutte le cose. Dalla Monade e dalla Diade indeterminata (il Caos), i Numeri; dai Numeri i Punti; dai Punti, le Linee; dalle Linee, le Superfici; dalle Superfici, i Solidi; da questi i Corpi Solidi, i cui elementi sono quattro: il Fuoco, l’Acqua, l’Aria, la Terra; e di tutti questi, trasmutati (correlativi) e totalmente cambiati, è formato il Mondo[1].

I Pitagorici associavano i numeri alle forme geometriche: le superfici rappresentavano lo Spazio Astratto, i Volumi, lo Spazio Formato, che caratterizza il Cosmo.
Il Cerchio rappresenta lo Zero assoluto, il contenitore e il contenuto di ogni cosa, che era rappresentato dal simbolo dei simboli, un Disco Bianco su fondo Nero. Il simbolo dello Spazio Astratto, dell’Assoluto è un Cerchio il cui centro è dappertutto e la cui circonferenza è in nessun luogo secondo la definizione data da Pascal su Dio. Il Cerchio è la rappresentazione negativa dell’Assoluto, un Principio senza forma. Il Cerchio astratto rappresenta la Causa Celata, la Radice di ogni possibile manifestazione soggettiva e oggettiva. Il Cerchio è anche il Non Numero, l’Indeterminato, lo Zero[2], il Nulla per i nostri sensi fisici, in realtà il Tutto.
La mitologia dei sacerdoti egizi di Heliopolis, narra che dapprima esisteva un Oceano di Energia immobile, lo Spazio senza confini, il Num. Da questo spazio sferico come un Uovo si generò un Punto di Luce che prese il nome di Atum “Colui che è, e Colui che non è”. Atum-Râ è descritto, nel Libro dei Morti, radiante nel suo Uovo. Il Punto nel Cerchio ancora immacolato, è la rappresentazione dell’Uno, indicante l’aurora della differenziazione. É il Punto nell’Uovo del Mondo, il Germe che diverrà l’Universo, il Tutto, il Cosmo illimitato e periodico, un Germe che è, periodicamente ed alternativamente, latente ed attivo.
L’Uovo, dal cui interno emerge la Divinità Creatrice, è il “Cerchio con il Punto centrale” di Pitagora, simbolo ben appropriato. il Punto nel Cerchio, non era ancora l’Architetto o il Demiurgo dell’Universo, ma la Causa di quell’Architetto Il Cerchio intero è l’Unità divina da cui tutto procede e cui tutto ritorna. “Deus enim et circulus est”, dice Ferecide, nel suo Inno a Giove. Questo era un assioma ermetico, e Pitagora prescriveva una prostrazione e una posizione circolare durante le ore di contemplazione: “Il devoto deve avvicinarsi il più possibile alla forma di un cerchio perfetto”.

Figura 1. Il Cerchio con il Punto – l’Uno la Monade
 
Dapprima l’Unità celata, lo Zero, poi il Punto nel Cerchio che nelle antiche cosmogonie è indicato come il Germe nell’Uovo Cosmico. Il Punto Primordiale nel centro del Cerchio rappresenta l’Inizio della Manifestazione, l’Unità nella sfera della materia dell’Universo. La Monade Pitagorica dimora nella solitudine e nelle Tenebre come il “Germe”. Questo è il simbolo per eccellenza della divinità solare e rappresenta il Padre nei cieli astratti della tradizione cristiana. Filolao afferma che: “Il primo armonicamente composto, è l’Uno nel mezzo della Sfera si chiama Focolare.” L’Uno di Filolao è il Principio del Cosmo, ma non un Principio Assoluto perché a sua volta è il risultato di elementi preesistenti, gli Indeterminati e i Determinanti, che esistono da sempre. Il principio di tutte le cose è la Monade che appare come un Punto di Luce nel Cerchio.
 
La Monade ingenerabile, imperitura, incomprensibile, contiene in Sé un altro Essere, una Coppia Maschile e Femminile, che Platone chiama il Medesimo e il Diverso, Spirito e Materia. Il simbolo è quello della Dualità o Polarità, di Due Sfere gemelle entro il Cerchio di Luce.
 
Figura 2. Il Medesimo e il Diverso - la Diade
 
 
L’inizio del libro di Filolao Sulla natura o Sul cosmo, che Diogene Laerzio ha ricavato da Demetrio di Magnesia, nel suo scritto Omonimi, presenta subito la natura che opera nel mondo perché ordinato, è resa armoniosa dai due tipi opposti di elementi: quelli indeterminati che sono innumerevoli ed anche quelli che li completano, li determinano. L’armonia tra infinito e finito, indeterminazione e principio di determinazione, si realizza sia nella globalità dell’universo sia in ogni sua singola parte. L’inizio del libro fornisce subito l’impostazione originale di Filolao:
 
La natura del Cosmo risulta dell’accordo di cose Interminate e Terminanti; così il Cosmo nel suo insieme, come tutto quanto è in esso.
 
Nel Timeo, il Demiurgo, foggia il mondo partendo da una Materia preesistente alla sua opera, la Materia, in accordo con la filosofia orientale, è preesistente alla creazione, è eterna. Il modello che egli imita nel compiere il proprio lavoro appartiene al mondo astratto delle Idee. Il Demiurgo, prese dunque quanto c’era, di visibile, d’inquieto e in agitazione disordinata le molecole eterne del Caos Primordiale, lo Spazio (da χαίνω, “Vuoto”), e lo ridusse dal disordine all’ordine. Il Caos è lo Spazio è contiene in sé tutti gli Elementi nel loro stato rudimentale e indifferenziato. Questo Caos, per Platone e per i Pitagorici, divenne “l’Anima del Mondo”. Secondo l’insegnamento indù, la Divinità sotto la forma di Ǽther (Âkâsha secondo gli Indù), permea tutte le cose, in altre parole è Theos che evolve fuori dal Caos o il Grande Abisso. Caos-Theos-Kosmos, la Triplice Divinità, rappresenta il Primo Triangolo della Triade Pitagorica, il “Dio dai Tre Aspetti”, prima che si trasformi, attraverso la quadratura perfetta del Cerchio Infinito, in Quaternario.
 
Pitagora intende con la parola Kosmos gli Elementi, Fuoco, Aria, Acqua, e Terra. I Quattro Elementi sono chiamati rhizômata, le radici o principi di tutti i corpi composti. Platone nel Timeo scrive:
“Creò l’universo componendo l’Intelligenza nell’Anima e l’Anima nel corpo perché l’opera fosse la più bella secondo natura e la più buona che si potesse. Di tutte e Due formò una Terza specie di essenza intermedia che partecipa della natura del Medesimo e di quella dell’Altro (il Diverso) … e presele tutte e tre, le mescolò in una sola specie, congiungendo a forza col Medesimo la natura dell’Altro[3]”.
 
L’Anima è in rapporto con lo Spirito e con la Materia, è quindi mediana, condizione divina posta nel corpo terreno. I Pitagorici con questo concetto spiegavano l’Unità e l’organicità del Cosmo, la vita e il movimento che lo animano. Quando si dice che ogni anima umana nasce dal suo distacco dall’Anima Mundi, s’intende, che i nostri Ego più elevati sono di un’essenza identica ad Essa. Nel linguaggio platonico, la Mente o Spirito e la Materia, erano i Due Princìpi Primordiali ed eterni dell’Universo, del tutto indipendenti da qualsiasi altra cosa. Il primo di essi era il principio intellettuale che tutto vivifica, mentre il Caos era un principio liquido “senza forma né intelletto”; dalla loro unione nacque l’Universo, o piuttosto il Mondo Universale.
 
Nel Timeo, Platone tratta della Creazione, l’azione del Medesimo e del Diverso, precisando che “due cose (la Diade) non possono essere unite giustamente senza un terzo”; ci deve essere un certo legame che attesti l’unione fra loro. I Due Punti della Diade irraggiano due campi di forza, due sfere d’influenza. Questi due campi non sono statici, sono due vortici che ruotano tra loro in senso opposto.
 
I Due Cerchi vanno disegnati con raggio Unitario e diametro Due, con i rispettivi centri distanziati di un’unità in modo che possano interagore tra loro. L’intersezione de Due Campi visualizzati con Due Cerchi, crea un Terzo Aspetto. Il Terzo Essere è la Mente Creatrice, il Demiurgo, è il fattore di tutte le cose, e lavora sul mondo manifesto per mezzo della Luce del Logos. I Due Cerchi quando sono separati occupano entrambi uno spazio pari a Quattro, che rapportandosi si riduce a 3/4, la nota FA, la Creazione.     
      
Geometricamente il Terzo nato dall’unione dei due cerchi, l’area comune da essi generata è la Vesica Piscis (la Vescica del Pesce). Per gli uomini, questa intersecazione simbolica rappresenta il terreno comune, visione condivisa o comprensione mutua tra individui uguali. Vesica Piscis è individuata da due assi rispettivamente di lunghezza Uno e √3. Le due linee a 90° suggeriscono l’idea di assi di riferimento mediante cui: “ogni forma deve essere misurata e posta”. La Divina Misura, gli Assi di Sviluppo ideati dalla Mente Divina reggono le forme dalle particelle sub-atomiche a quella degli atomi macrocosmici: galassie, sistemi solari, pianeti. Nell’antico Egitto, l’Ordine Cosmico, la Divina Misura era personificata da Maat, simbolizzata come un rettangolo. Fra i Babilonesi, l’Ordine Cosmico veniva indicato con la parola Me. Per gli orientali, l’Ideazione Cosmica, l’Anima universale è chiamata Mahat, parola molto simile a quella usata dagli Egizi.  
Figura 3. Vesica Piscis – il Terzo Essere
 
 
La Vescica Piscis è conosciuta anche sotto il nome di mandorla. La mandorla è la figura che nell’iconografia medievale circonda spesso il Cristo o la Vergine Maria. Essa appare come l’aureola di luce che ne rivela la divinità ed è frequentemente utilizzata anche nella pittura rinascimentale. Il Pesce, in passato era il simbolo della Dea Madre, rappresentazione grafica del ventre femminile (simbologia che i Celti manterranno per secoli). I primi cristiani, nei loro Misteri sacri, chiamavano se stessi “pisciculi” (piccoli pesci) e si ritenevano tutti pesci cresciuti nell’acqua e salvati da un grande Pesce. La figura oltre al Pesce ricorda sia l’Occhio che la Conchiglia. Durante in cataclisma che ha preceduto questo l’attuale periodo di manifestazione, l’Insegnamento sacro rappresentato dai Veda era racchiuso in una conchiglia, uno degli attributi di Vishnu. Si ritiene che la conchiglia contenga il suono primordiale, cioè in monosillabo OM. In Cina Kwan-Yin è la Dea della Misericordia ed è chiamata la “Voce Divina”[4]. Questa “Voce” è un sinonimo del Verbo o Parola, “Linguaggio” come espressione del Pensiero. È questa “Voce “ che fa uscire dal Caos e dai Sette Elementi Sien-Tchan, la forma illusoria dell’Universo.
 
Questo era l’esercito della Voce, la Divina Madre dei Sette[5].
 
La Madre è l’ardente Pesce della Vita. Essa dissemina le sue Uova ed il Soffio il [Moto] le riscalda e le vivifica. I Granelli [delle Uova] si attraggono rapidamente l’un l’altro e formano i Grumi nell’Oceano [dello Spazio].[6]                                                                                                   
    
La diagonale orizzontale di valore Uno uguale al raggio dei cerchi, è il riferimento per i lati dei poligoni, la diagonale verticale di √3 c’informa che Vesica Piscis genera numeri irrazionali. Volendo esprimere questo rapporto divino 1/√3 con numeri interi, necessariamente occorrerà adottare una piccola approssimazione, utilizzando il rapporto di 153:265 denominato da Archimede la “misura dei pesci”, è un’approssimazione alla misura della Vesica Piscis 1/√3, con un piccolissimo errore di 0,000025 (25 milionesimi), con la proprietà che nessuna approssimazione migliore non può essere ottenuta con i più piccoli numeri interi. Il collegamento misterico con i piccoli pesci lo ritroviamo nei Vangeli quando si narra dell’apparizione agli Apostoli di Gesù risorto sul lago di Tiberiade dove invita Simon Pietro a gettare la rete nel lago: “Allora Simon Pietro salì nella barca e trasse a terra la rete piena di centocinquantatre grossi pesci. E benché fossero tanti, la rete non si spezzò”. Il numero dei Pesci è appunto 153.   
Figura 4. La misura dei  Pesci
 
 
Porfirio narra nelle Vita di Pitagora, che in viaggio fra Sibari e Crotone, Pitagora, si avvicinò a dei pescatori e, dato che la rete che essi tiravano a riva conteneva una grande quantità di pesce, egli predisse il numero esatto dei pesci da loro tirati a riva. Quando quei pescatori ebbero accettato di eseguire i suoi ordini, se solo la predizione si fosse rivelata esatta, dopo che ebbero contato minuziosamente i pesci, ordinò loro di gettare il pesce ancora vivo in acqua; la cosa più stupefacente fu che nessuno dei pesci, pur rimasti fuori dall'acqua, morì alla sua presenza, mentre era compiuta la conta. Il numero dei pesci non è precisato, ma la tradizione afferma che erano 153.
 
  • La diagonale minore 153 è il diciassettesimo numero triangolare, più precisamente è la somma dei numeri dei numeri da 1 a 17 compresi.
  • Visualizzando il 17° numero triangolare composto di 153 punti, si osserva che è composto di 10 triangoli ascendenti cinque punti di lato, con la punta rivolta in alto e 6 triangoli discendenti, con la punta rivolta in verso il basso, 16 triangoli in tutto.
  • 153 inoltre ha la proprietà rara che è la somma dei cubi delle proprie relative cifre, cioè: 153 = 13 + 53 + 33, e la somma dei cubi dei primi tre numeri dispari. I numeri dispari sono considerati spirituali, i pari materiali.
  • Espresso in modo fattoriale 153 = 1!+2!+3!+4!+5! è la somma dei primi cinque numeri interi positivi fattoriali. Si può dire che è il quinto numero triangolare fattoriale.
  • Ridotto al pitmene 1+5+3=9 è il numero del cerchio 360=3+6+0=9, e del tempo ciclico.
  • La diagonale maggiore 265 è il 12° numero quadrato centrato. È un numero intero privo di quadrati, cioè non è divisibile per nessun quadrato perfetto tranne 1. Ridotto al suo pitmene, è quattro 2+5+6=13=1+3=4. È un numero composto con 4 divisori: 1, 5, 53, 265. È segnato dal numero quattro, il quadrato perfetto.
  • Il numero 256 è anche segnato dal numero cinque: 265 = 5x53.
    • Il numero 53 è la somma di cinque numeri primi successivi escludendo 2, il primo numero pari, e 3, il primo numero dispari, infatti: 5+7+11+13+17=53.        
 
Sia la diagonale minore e sia quella maggiore delle Vesica Piscis sono segnate dal numero cinque. Il numero cinque è il numero dell’Uomo, è il matrimonio tra il primo numero pari 2 e il primo numero dispari 3; inoltre cinque per la diagonale maggiore, cinque per la diagonale minore 5+5 = 10, il Tutto, il Kosmos, l’Uomo Celeste.
 
[1] Diogene Laerzio, Vite, VIII, 25.
[2] Lo Zero, in matematica è il risultato della somma di tutti i numeri positivi e negativi, reali e immaginari, cioè il Tutto.
[3] Platone, Timeo VIII – 34c – 35a, b.
[4] La Sophia gnostica, “Saggezza”, che è “la  Madre” dell’Ogdoade (Aditi, in un certo senso, con i suoi otto figli), è lo Spirito Santo e il Creatore di tutto, come negli antichi sistemi. Il “Padre” è un’invenzione posteriore. Il più antico Logos manifestato era femminile dappertutto, la Madre delle Sette Potenze planetarie.
[5] Stanza di Dzyan IV, 4.
[6] Commentario alla Stanza IV di Dzyan.
 
IL MEDESIMO E IL DIVERSO GENERANO LE FIGURE GEOMETRICHE
 
 
L’intersezione dei Due Cerchi che rappresentano il Medesimo e il Diverso genera la figura del Pesce, la Piscis Vesica, la Madre generatrice di tutte le figure geometriche. I Due Cerchi intrecciati in modo da formare Vesica Piscis sono stati considerati dagli antichi filosofi matematici come i genitori dei numeri e delle figure geometriche.
 
                                                                                                                                                    
                   
      

      
                                                                                                                                        
Figura 1. Il Primo Triangolo, Il Medesimo, il Diverso e Vesica Piscis
 
Il Triangolo Equilatero di lato unitario si individua all’interno della Vesica prendendo come riferimento la diagonale di valore Uno per la sua base e la semidiagonale di valore √3/2 per la sua altezza. La diagonale orizzontale di valore Uno uguale al raggio dei cerchi, è il riferimento per i lati dei poligoni, la diagonale verticale di √3 c’informa che Piscis Vesica genera anche numeri irrazionali. Dall’intersezione dei Due Cerchi nasce la prima figura geometrica, il Triangolo, e il primo numero dispari: “Tre”. Questo è il Triangolo del mondo manifestato. S’individuano due Triangoli Equilateri il primo di lato 2 (uguale al diametro dei Due Cerchi), e altezza √3, il secondo di lato 1 (uguale al diametro del Cerchio inscritto nella Vesica Piscis) e altezza √3/2.
 
Il Triangolo di lato 2 coincide con il diametro 2 del cerchio del Medesimo e del Diverso, insieme compongono la Trinità astratta. Il Cerchio e il Punto, dei quali l’ultimo si ritira e si fonde con il Cerchio dopo aver emanato i primi Tre Punti e dopo averli congiunti con linee formando il Primo Triangolo, la Trinità Astratta (per il mondo delle forme), base del secondo Triangolo nel mondo manifestato, quello di cui parla Platone nel Timeo[1].
 
Figura 2. Il Triangolo Primordiale
 
 
Il triangolo interno ala Vesica Piscis di lato 1, nel mondo della dualità si riflette in un secondo triangolo: si realizza così il Senario, quando i due triangoli si sovrappongono, realizzano la stella a 6 punte. Unendo i quattro punti d’intersezione dei Due Cerchi, il Medesimo e il Diverso, con l’asse individuato dal Diametro dei Cerchi, all’interno della Vescica Piscis, si ottengono Due Triangoli Equilateri di lato Uno, con i vertici opposti fra loro. I Due Triangoli Equilateri hanno vertice opposto per indicare la Polarità della manifestazione. La figura è un Rombo detto Losanga (un altro simbolo della Dea Madre), i cui quattro vertici individuano gli assi della Vesica: la Misura dei Pesci cioè √3/1. Se disponiamo i 10 punti della Tetractis in modo crescente e decrescente in una serie di Sette Numeri, otteniamo un Rombo formato da 16=42 Punti.
 
Figura 3. Vesica Piscis genera il Doppio Triangolo
 
 
 
Io intendo le linee rette e curve, le superfici e i solidi, che derivano dalla retta e dal cerchio, con l’ausilio del compasso, della riga e della squadra. Poiché queste forme non sono belle come altre, a certe condizioni, ma sempre belle in sé, per natura, e sono fonte di particolarissimi piaceri.[2]                                                                                              
                   
      

      
                            
Figura 4. Vesica Piscis genera il triangolo e il Quadrato
 
Prendendo come riferimento la diagonale di valore Uno, che è la base del Triangolo, nasce la seconda figura geometrica che riguarda la formazione dei mondi materiali, il Quadrato, il numero Quattro. Si tracciano due segmenti verticali dagli estremi della diagonale di valore unitario della Vesica fino ad incontrare i Due Cerchi. Unendo i quattro punti si ottiene un Quadrato di lato uno e di diagonale √2. La radice quadrata di due è in rapporto con la Creazione. Platone, nel dialogo Menone: Socrate interroga lo schiavo Menone, chiedendogli di raddoppiare un quadrato (cioè di costruire un quadrato di area doppia di quello dato). Socrate riesce a fargli scoprire che basta costruirlo prendendo per lato la diagonale del primo. Così dunque si ottiene il quadrato richiesto, di area doppia del primo. Questo processo si può ripetere all’infinito.
 
Le due figure geometriche Triangolo D e Quadrato ¨ sovrapposte rappresentano il numero Sette. La Scuola Pitagorica considerava il numero 7 come un composto dei numeri 3 e 4. Sul piano del mondo noumenico, il Triangolo, come prima concezione della Divinità manifestata, era la sua immagine, “Padre-Madre-Figlio”; e il Quaternario, il numero perfetto, era la radice ideale, noumenica, di tutti i numeri e tutte le cose sul piano fisico.
 
L’Esagono si costruisce con un lato unitario coincidente con la diagonale minore della Vesica Piscis. Si disegna un altro cerchio di raggio uguale a 1, con il suo centro nell’estremo inferiore dell’asse verticale. Il terzo cerchio passa per gli estremi della diagonale minore (punti rossi in figura) e interseca il Medesimo e il Diverso in due punti della Vesica (punti verdi in figura). Questi quattro punti appartengono ai vertici dell’Esagono, per trovare gli altri due basta osservare che sono simmetrici rispetto al centro del terzo cerchio. L’Esagono è formato da 6 Triangoli Equilateri di lato unitario, precisamente tre coppie.
 
                                                                                                                                                                                                                                             
                   
      

      
Figura 5. Vesica Piscis genera l’Esagono  
 
Il Pentagono si costruisce creando una sezione o un segmento aureo, partendo dal raddoppio del quadrato. La Vesica Piscis genera per dualità due quadrati, sommandosi formano una figura con otto vertici che uniti creano l’ottagono. Raddoppiando il Quadrato di lato unitario si ottiene un Rettangolo di lati Uno e Due (il rapporto di Ottava), la cui diagonale vale √5. Il numero irrazionale F si ottiene geometricamente con il compasso e la squadra: si traccia un arco da centro del rettangolo sino ad incontrare l’asse orizzontale della figura ottenendo il segmento AB = 1/2+√5/2.
 
                                                                                      
Il Pentagono si costruisce con un lato unitario coincidente con la diagonale di valore Uno della Vesica. Si disegni un terzo cerchio di raggio uguale a 1, con il suo centro nell’estremo inferiore della diagonale verticale. Si può verificare che il terzo cerchio passa per gli estremi della diagonale orizzontale unitaria (punti verdi in figura) e interseca sia il Medesimo e il Diverso in due punti e sia l’asse verticale della Vesica (punti gialli in figura). Si disegnino due linee (tratteggiate) che uniscono i due punti d’intersezione sui due cerchi e il punto individuato sull’asse verticale della Vesica, e s’individuano così altri due punti sui cerchi del Medesimo e del Diverso che individuano altri due vertici del Pentagono. Per determinare il quinto punto del Pentagono si traccia un arco di raggio AB=F fino ad incontrare il prolungamento della diagonale verticale della Vesica.
Figura 6. Vesica Piscis genera il Pentagono
 
I Sei e i Cinque costruiti sulla diagonale unitaria della Vesica Piscis raffigurano il rapporto fra il Macrocosmo e il Microcosmo. Il Pentagono è inscritto in un cerchio di raggio più piccolo (del 15%) rispetto al cerchio di raggio unitario dell’Esagono, per indicare che si tratta della figura del microcosmo, riferibile all’Uomo.
[1] Platone, Timeo XX.
[2] Platone, Filebo 51 c.
 
IL FIORE DI VITA
 
Il Fiore di vita si costruisce partendo un Cerchio Primordiale o Centrale. Da esso, un Secondo Cerchio è costruito centrato in qualsiasi punto del perimetro del primo, individua la Vesica Piscis; dopodiché, i passaggi successivi prevedono di girare attorno al cerchio originale, si traccia un nuovo cerchio con lo stesso diametro facendolo passare nei punti d’intersezione tra i due cerchi primordiali. Si dice che i sette passi di questo processo simboleggiano i primi sette giorni di creazione.     
                        
Figura 1. La costruzione del Fiore di Vita
 
 
I sei cerchi esterni nel seme della vita s’incrociano in sei nuovi punti. Questi sono i centri della prossima iterazione di cerchi. Il risultato finale è chiamato l’Uovo della Vita. L'uovo della vita è il nome dato alla seconda iterazione nel processo di costruzione del Fiore della vita. Pertanto contiene 7 + 6 = 13 cerchi. Tredici è il sesto numero primo! Partendo dall’Uovo della Vita, un’altra ripetizione di cerchi di disegno centrati sui punti d’intersezione esterni produce lo schema centrale nel Fiore della Vita. Questo modello contiene 19 cerchi completi. Diciannove è il settimo numero primo! Conteggiando anche i due cerchi esterni si ottengono 19+2=21 cerchi. Come numero rettangolare 3x7=21 è il prodotto dei due numeri spirituali della Decade 3 e 7. Il Sesto numero triangolare è 21, tre volte sette. Marco, uno Gnostico[1] la cui filosofica era decisamente Pitagorica, parla di tre Ebdomada (3 gruppi di 7). Due in Cielo, una nel Cielo superiore e una in quello inferiore, infine una terza e una in terra sul piano della materia: in totale 7+7+7 = 21. Il nome cabalistico della Divinità cabalistica è formato con 4 lettere Jod(10)-Hé(5)-Vau(6)-Hé(5) di valore 26. In questo nome la Hé ripetuta due volte, il due è la dualità della creazione materiale, tenendo conto di una sola Hé si ha 21.
                          
Il Fiore di Vita è stato aggiunto tra i simboli pitagorici, primo perché nasce dal Vesica Piscis, secondo perché è stato ritrovato inciso su una delle imponenti colonne del Tempio dell’Osireion ad Abido e non trovato in nessun altro luogo nell’Egitto. Sappiamo che Pitagora studiò per 22 anni con i sacerdoti egizi. Uno dei temi ricorrenti egizi è il fiore di loto, il fiore che sorge dall’acqua. Il loto è un elemento ricorrente nella simbologia egizia. I quattro figli di Horus sono rappresentati mentre escono da un fiore di loto. Anche il figlio di Ptah, il Fuoco Creativo, nasce da questo fiore.
 
 
Figura 2. Il Fiore di Vita inciso sulle colonne del Tempio dell’Osireion
 
Questo motivo sembra essere l’unico simbolo che adorna il tempio megalitico, così apparentemente identificando il relativo uso. Il fiore di vita è fatto da una serie di cerchi che intersecandosi formano tanti simboli dei pesci, che danno l’apparenza di molti occhi, 30 in tutto.
 
Figura 3. Il Fiore di Vita

 
                                                                                                                                                                                              
 
Per Marco lo Gnostico Pitagorico, la pronuncia del Nome Ineffabile (attraverso il Verbo) consisteva quindi di 30 elementi (lettere) e di 4 combinazioni. Trenta, per Valentino è il numero gnostico del Pleroma, che è la somma di due numeri triangolari uguali di rango 5 cioè 5D+5D = 15+15=30. Per i Pitagorici, il triangolo è l’atomo, ogni figura può essere scomposta in triangoli, nel nostro caso unendo i 15 Punti della Pentactide, il 5D, si ottengono 16 triangoli, collegati con 30 lati[2]. Nello spazio tridimensionale, la Tetractis pitagorica, si esprime con il Quarto Numero Piramidale, una piramide a base quadrata contenente 30 punti, con 4 punti di lato: 12 +22+32+42 = 1+4+9+16=30.
 
Analizzando e scomponendo il Fiore di Vita si possono ricavare importanti scoperte:
 
  • La Circonferenza che racchiude tutto, simbolo dell’Uovo del Mondo. Come quelle dell’uovo è dura all’esterno morbida all’interno, doppia perché esprime la dualità della manifestazione.
  • Un Cerchio minore situato al centro, simbolo del Primogenito che si manifesta.
  • Sei Cerchi minori tangenti al Cerchio centrale, in totale  6 + 1 = 7, le sei direzioni dello spazio tridimensionale polarizzato e il punto centrale. I cerchi rappresentano i corpi di manifestazione dei Costruttori dell’Universo.
  • Due gruppi di sei Cerchi 2x6=12
 
    • Sei Cerchi ruotati di 30°, tangenti al centro della circonferenza in modo da formare un fiore a 6 petali, simbolo della forza centripeta che ha agito sui primi sei con movimento rotatorio (30°) e spostamento verso il centro.
    • Sei Cerchi ruotati di 30° rispetto ai precedenti centripeti, espansi rispetto al centro della circonferenza in modo da formare un fiore a 6 petali allargato, simbolo della forza centrifuga che opponendosi alla forza centrifuga produce equilibrio, nel cerchio centrale immobile.
 
L’unione delle tre figure produce 7 (6 + 1) fiori a 6 petali che s’intrecciano, il Fiore di Vita.
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Figura 4. Particolari del Fiore di Vita
 
[1] Secondo S. Gerolamo, Marco era egizio, secondo altri insegnava in Asia Minore.
[2] La formula per calcolare i lati è 3n(n + 1)/2 dove n è il rango triangolare meno 1; nel nostro caso n=4.
TRIANGOLI MISTICI

“Coloro che si occupano di geometria, discutono di figure visibili, ma non pensano ad esse, bensì a quelle di cui esse sono copie”[1].
 
Nel Timeo di Platone[2], gli oggetti del sensibile sono formati da Triangoli che si compongono in figure geometriche: “Ogni superficie piana e rettilinea è formata da triangoli”. Il Triangolo è la superficie primordiale, una forma non generata da moltiplicazione, in quanto è il risultato per addizione dalla prima scissione 1 + 2 = 3. La minima superficie è individuata da tre punti, i vertici di un Triangolo. Il Neopitagorico Proclo, scriveva che i Pitagorici dicevano che il Triangolo è il principio della generazione. Per i Pitagorici e per Platone, il Triangolo rappresentava l’atomo, la parte ultima e indivisibile di una superficie, perché un poligono è sempre suddividibile in triangoli. La riunione di questi Tre aspetti divini è rappresentata con un Triangolo inscritto nel Cerchio della Materia Primordiale. Nel mondo fenomenico la Monade diventa il vertice del Triangolo Equilatero manifestato, o il “Padre”. La linea a sinistra del triangolo diventa la Diade o la “Madre. La linea di destra del triangolo rappresenta il “Figlio”, descritto in ogni antica cosmogonia come uno con il Padre o vertice[3]. La linea alla base del triangolo sta per il piano universale della natura produttiva, in cui sono unificati sul piano fenomenico “Padre – Madre – Figlio”, come sono stati uniti in tutto il mondo soprasensibile dal vertice, dalla Monade. Il triangolo è il più profondo di tutti i simboli geometrici.
 
Platone, nel Timeo ci informa che: “Tutti i triangoli derivano poi da due specie di triangoli, ciascuno dei quali ha un angolo retto e due acuti … Fra gli infiniti triangoli rettangoli scaleni, uno è il più bello, il triangolo rettangolo scaleno”. Tutti i triangoli sono fondamentalmente di due tipi: il triangolo rettangolo isoscele (angoli di 90°, 45°, 45°) e il triangolo rettangolo scaleno (angoli di 90°, 60°, 30°). Ora, mentre per il triangolo rettangolo isoscele non vi sono problemi, per quello scaleno ve ne sono; essi possono, infatti, essere, al contrario degli altri, della più incredibile varietà.
 
La figura geometrica base è il Triangolo rettangolo che esprime l’azione delle due forze, due vettori, la possibilità di andare in due direzioni diverse, la diagonale è il risultato. Nel Timeo, l’altezza innominata del Triangolo più Bello è la radice quadrata di tre √3. Il Triangolo Equilatero raffigura la Divinità, che spezzandosi in Due parti compie il Sacrificio all’Inizio dei Mondi. Il Triangolo più bello ha le seguenti proprietà:
 
  • Il cateto minore è uguale alla metà dell’ipotenusa: rapporto musicale di ottava 1/2, il DO.
  • L’angolo di 60° è i 2/3, il SOL, dell’angolo retto di 90°.
  • Poiché il cateto maggiore è la radice quadrata di tre √3, il quadrato del cateto maggiore è il triplo del cateto minore.
  • Si realizza così la sequenza 1, 2, 3.
 
Figura 1. Triangolo Rettangolo scaleno
 
                                                                                                                                                                   
                         
        

Platone riferendosi a questi triangoli scrive:  
 
Se si compongono insieme due siffatti triangoli secondo la diagonale e questo si ripete tre volte in modo che le diagonali e i lati piccoli convergano nello stesso punto come in un centro, nasce, di sei triangoli, un solo triangolo equilatero.
 
Figura 2. Sei triangoli scaleni formano il Triangolo Equilatero
 
 
Platone ci dice che la caduta nella forma si ottiene dalla polarizzazione della forma primordiale, il Triangolo Equilatero equiangolo 2x3=6. Nel mondo della manifestazione, Sei Triangoli Rettangoli uguali, Tre coppie, che a loro volta forma un Settimo, il Triangolo Equilatero.
 
E la bellezza di questo triangolo discende soprattutto dal fatto che, se ripetuto Sei volte, realizza un Triangolo Equilatero. Occorre osservare che Platone non realizza il Triangolo Equilatero nel modo più semplice mediante Due soli dei Triangoli Rettangoli.
 
Le tre altezze di un triangolo equilatero, che sono anche mediane, assi e bisettrici, sono assi di simmetria del triangolo e il punto in cui si incontrano è il centro della circonferenza inscritta e circoscritta. Il raggio della circonferenza circoscritta è il doppio “2” del raggio della circonferenza inscritta “1”. I due cerchi stanno fra loro in rapporto di Armonica ½ DO. L’altezza del Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è 3/2 del raggio: rapporto di Quinta, SOL. Il lato del Triangolo Equilatero iscritto in una circonferenza è √3 volte il raggio.
 
                                                                                                               
                   
      

      
Figura 3. La progressione dei primi quattro numeri con le figure geometriche  
 
Plutarco riguardo alla natura del Triangoli scrive nei Dialoghi Delfici, che:
     
  1. IL TRIANGOLO EQUILATERO (tre lati      uguali) raffigura la divinità;
I Pitagorici il Triangolo Equilatero lo chiamano Atena Corufagena (nata dal vertice) e Tritogenia (nata dalla Triade), perché è suddiviso esattamente in parti uguali dalle tre perpendicolari condotte da ciascuno dei tre angoli[4].
     
  1. IL TRIANGOLO SCALENO (tre lati      diversi) raffigura la natura umana;
 
    Figura 4. Triangolo scaleno
 
 
  1. IL TRIANGOLO ISOSCELE (due lati      uguali) raffigura la natura del daemon, perché egli      partecipa tanto dell’umana passione, quanto della potenza divina.
 
Figura 5. Triangolo isoscele
 
 
Per Platone, I daemon sono esseri intermediari fra gli Dei ed i mortali. Il Demone di Socrate è la parte incorruttibile dello uomo, l’uomo reale interiore. Successivamente i filosofi della Scuola di Alessandria, diedero il nome di daemon ad ogni tipo di spiriti, sia buoni che cattivi. Attualmente per le moltitudini il daemon si è trasformato in demonio, un essere oscuro.
 
Poiché ogni generazione si produce per divisione, l’uomo corrisponde a un triangolo equilatero tagliato in due, cioè a un triangolo rettangolo. Questo, secondo l’opinione di Platone nel Timeo, è anche rappresentativo della Terra. La trasformazione del triangolo equilatero in triangolo rettangolo si traduce con una perdita di equilibrio.
[1] Platone, Repubblica (510, c - e).
[2] Platone, Timeo XX.
[3] Si comprende l’usanza degli antichi di entrare in un tempio dal lato destro e mettendo avanti la scarpa destra.
[4] Plutarco Iside e Osiride, F, 381.
 
I TRIANGOLI RETTI
I Triangoli Rettangoli sono caratterizzati da aver tre lati diversi. Il Triangolo Rettangolo rappresenta l’Uomo e la generazione che si produce dalla divisione. Poiché ogni generazione si produce per divisione, l’umanità corrisponde a un Triangolo Isoscele tagliato in due, cioè a un Triangolo Rettangolo. Il Triangolo Rettangolo è chiamato così perché ha un angolo retto di 90°. L’angolo retto è simbolo di uguaglianza e di unione perché uguale alla somma degli altri due angoli. L’angolo retto è il prodotto di 9x10, dove 9 è un simbolo di rigenerazione e anche di Giustizia, mentre il 10 è simbolo della Perfezione, della sublimazione, è il compimento di ogni cosa. Questo significa, in poche parole, la rigenerazione dell’uomo, il suo ritorno allo stato divino originale.  
Figura 1. Triangolo Retto
 
 
I Triangoli Retti di Platone, principi di generazione, hanno un lato che può essere espresso sia con numeri interi, sia con irrazionali. I Numeri Interi indicano delle entità incorrotte. I Numeri Irrazionali indicano entità disintegrate. I numeri irrazionali sono quei numeri la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc) non termina mai e non forma una sequenza periodica: simboleggiano la molteplicità. I numeri irrazionali sono in relazione con l’azione del divino nel mondo materiale. La ragione è ordinata e unica, l’irrazionalità è molteplice. Nonostante l’opinione della maggioranza degli esperti del settore, il vero scopo delle operazioni legate a tali particolari numeri non era principalmente quello di trovare il valore approssimativo della diagonale di un triangolo rettangolo, campo di applicazione della matematica applicata alla geometria, ma della matematica pura, la quale, avendo per oggetto esclusivamente i numeri interi, e possedendo un carattere di assoluta esattezza, esclude categoricamente qualunque genere di calcolo approssimativo.
 
  • Il Triangolo d’ipotenusa Due e cateti Uno, ha il terzo lato definito da un numero irrazionale, la radice quadrata di Tre, √3.
 
  • Il Triangolo con due lati uguali ad Uno ha il terzo lato, l’ipotenusa uguale alla radice quadrata di Due, √2.
 
  • Il Triangolo rettangolo con i cateti di lunghezza Uno e Due ha l’ipotenusa uguale alla radice quadrata di Cinque, √5.
 
Proclo attribuisce a Pitagora una semplice formulazione per generare triangoli retti con “numeri interi”. Si parte da un numero dispari che sarà il cateto più piccolo. Si calcola il quadrato di tale numero se ne sottrae un’unità e si divide per due, ottenendo così il secondo cateto. L’ipotenusa si ottiene aggiungendo l’unita al cateto calcolato.
 
Esempio cateto minore 3    Cateto maggiore    = 4    Ipotenusa 4 +1 = 5
 
Triangolo 3, 4, 5
 
Esempio cateto minore 5    Cateto maggiore    = 12  Ipotenusa 12 +1 = 13
 
Triangolo 5, 12, 13
 
Esempio cateto minore 7    Cateto maggiore    = 24  Ipotenusa 24 +1 = 25
 
Triangolo 7, 24, 25
 
Platone, secondo quanto afferma Proclo, fornisce una formulazione partendo dai numeri pari. Il numero pari è sempre il cateto minore del triangolo. Si calcola il quadrato della metà del numero che risulta intero perché pari, e si sottrae un’unità ottenendo così il secondo cateto. L’ipotenusa si ottiene aggiungendo l’unita al quadrato.
 
Esempio cateto minore 4     cateto maggiore    22 -1 = 3    ipotenusa 22 +1 = 5
 
Triangolo 4, 3, 5
 
Esempio cateto minore 6      ìcateto maggiore   32 -1 = 8    ipotenusa 32 +1 = 10
 
Triangolo 6, 8, 10
 
Esempio cateto minore 8     cateto maggiore    42 -1 = 15   ipotenusa 42 +1 = 17
 
Triangolo 6, 15, 17
 
Il Triangolo fondamentale 3, 4, 5 si trova in entrambi i modi, partendo sia dal numero dispari e sia dal numero pari.
Non esiste nessun triangolo rettangolo che abbia come ipotenusa Sette né che abbia sette come quadrato dell’ipotenusa. Sette è l’unico numero della Decade che è detto essere senza madre e vergine.
 
IL TRIANGOLO RETTANGOLO SACRO 3-4-5
 
Per Pitagora, il Triangolo era la prima concezione della Divinità manifestata, la sua immagine, Padre-Madre-Figlio.
 
La natura migliore e più divina consiste di tre componenti: quella intellettiva, quella materiale e quella che risulta da entrambe, che i Greci chiamano cosmo. Platone[1] è solito chiamare la componente intellettiva idea, paradigma e padre, quella materiale madre, nutrice, sede e luogo della generazione, e ciò che deriva da essi prole e generazione. Si può congetturare che gli Egizi onorino in sommo grado il più bello dei triangoli perché assimilano a questo la natura dell'universo, e così pure Platone[2] nella Repubblica sembra aver fatto uso di questo nel disegnare il suo diagramma del matrimonio. Quel triangolo ha l’altezza di tre unità, la base di quattro e l’ipotenusa di cinque, che ha lo stesso valore dei lati che la comprendono. Dunque l'altezza deve essere assimilata al principio maschile, la base a quello femminile e l’ipotenusa alla prole di entrambi: e bisogna considerare Osiride come il Principio, Iside come il Recipiente ed Horus come il loro perfetto risultato.[3]
 
                                                                                                                                                                               
                      
       

      
                                                
Figura 1. Triangolo Pitagorico egizio
 
Plutarco descrive il Triangolo Sacro Egizio caratterizzato dai numeri 3, 4, 5. La base vale Quattro, la Misura, la dea Iside; l’altezza vale Tre, il primo numero dispari, lo Spirito, Osiride; l’ipotenusa vale Cinque, la relazione fra Spirito e Materia, il Figlio Horus. Inscrivendo nel Triangolo un Cerchio di raggio unitario si ha:
 
  • Raggio = 1
  • Diametro = 2
  • Altezza = 3
  • Base = 4
  • Ipotenusa = 5
  • Area = 3x4/2 = 6
  • Somma di una coppia di lati (3+4) = 7;
  • Somma di cateto minore e ipotenusa (5+ 3) = 8;
  • Somma di cateto maggiore e ipotenusa (5+4) = 9.
 
Tutti i numeri fondamentali, ad eccezione dell’Unità e della Diade, sono generati dal Triangolo.
 
  • Nel Triangolo Sacro si possono inserire infiniti cerchi con raggio in rapporto di ottava cioè 1/1, 1/2, 1/4, 1/8 1/16, 1/32 …
  • Il prodotto dei tre lati 3x4x5 = 60 fornisce l’unità di misura del tempo, il Soss, il numero del Cielo dei Caldei, Anu.
  • Il perimetro del Triangolo Sacro “3+4+5” fornisce il numero 12, i settori del cerchio celeste. Il perimetro del rettangolo formato dal raddoppio del Triangolo dà luogo al numero 14 due volte sette.
  • È degno di nota che si deve intercalare due unità ai lati del triangolo 3, 4, 5, per ottenere il perimetro del rettangolo, in altre parole: 3+1+4+1+5 = 14. Questa sequenza evoca il valore di p, cioè 31415.
 
Plutarco[4] scrive che Il numero Cinque è il primo il cui quadrato è uguale a quello dei due che lo precedono immediatamente, e forma con essi il più bello dei triangoli rettangoli. Nel mondo quadratico della forma:
 
              12+22 = 5             Il Figlio, l’Uomo               32+42 = 52            La Trinità Manifestata
 
Il soffio è il segreto della vita ed il mondo è sferico perché esso diviene attraverso i Numeri e questi numeri sono Tre, Quattro, Cinque, a partire dalla Trinità originale.[5]
 
Sussiste anche il fatto che non esiste altra serie di numeri consecutivi per le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo all’infuori di questa serie 3, 4 e 5. Non possono perciò aversi serie come 4, 5, 6 oppure 5, 6, 7 ecc.

Gli antichi Egizi utilizzavano il Triangolo sacro per tracciare sul terreno angoli retti per costruire una casa o un tempio, tale compito era affidato agli agrimensori, detti “coloro che misurano con una corda”, raffigurati con in mano una corda sormontata da una testa di ariete adorna del serpente aureo, che ne sottolinea il carattere divino. Una delle principali cerimonie della fondazione del Tempio è di “tendere il cordone tra due picchetti”. Si prende una corda divisa da nodi in 12 parti, lunghe ciascuna un cubito (un sesto di p metri).   
Figura 2. La corda degli agrimensori
 
 
Il cubito è la sesta parte di una circonferenza di diametro un metro, che individua un perfetto triangolo Equilatero, simbolo dell’equilibrio e dell’armonia, prerogative di Maat, la Misura, l’Armonia. Si lascia libera un’estremità lunga tre cubiti, l’altra parte si fissa con un piolo. Con un altro piolo si fissa una lunghezza di quattro cubiti e si lascia libera la rimanente parte lunga cinque cubiti. Si ribattono le due estremità libere e si forma il perfetto angolo di 90° e il Triangolo rettangolo Sacro. Pitagora, ricordiamo che, rimase per 22 anni in Egitto presso i sacerdoti di Menfi. Considerando il Paletto, un’unità “1”, si ottengono Cinque numeri le prime cinque cifre del divino p: 3 + 1 + 4 +1 + 5.
 
Il teorema di Pitagora era noto anche agli Indù ed era legato al concetto di sacro. Si legge, infatti, nei Sulbasutra, testi che contenevano le istruzioni per la costruzione degli altari, riportati in forma scritta fra l’800 e il 600 a. C. dal monaco indiano di nome Baudhayana: “La fune tesa per la lunghezza della diagonale di un rettangolo forma un’area pari alla somma di quella formata dal lato verticale e da quello orizzontale 52 = 32 + 42”.
 
Figura 3. Triangolo 3-4-5 nei testi cinesi

 
In Cina il teorema attribuito a Pitagora era già noto almeno mille anni prima della nascita del filosofo. Il triangolo è collegato a una figura, che si trova nel Chou Pei Suan Ching uno dei più antichi testi cinesi di matematica, Il libro classico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo, scritto al tempo della dinastia Shang, 1500 - 1000 a. C. Questa figura potrebbe essere una dimostrazione del teorema di Pitagora, chiamato dai cinesi kou ku[6].  In figura si vedono Quattro triangoli rettangoli di lati 3, 4 e 5 disposti attorno al quadrato di lato Uno per formare una figura quadrata (colore arancione). I quattro triangoli sono poi inscritti in un quadrato di lato 7. L’area di questo quadrato grande è di 49 unità. Per avere l’area del quadrato centrale (di colore arancione), dobbiamo togliere l’area di quattro triangoli, che raddoppiati divengono due rettangoli eteromechi 3x4 di area 2x3x4 = 24; effettuando la differenza: 49 - 24 = 25. Il lato di questo quadrato misura quindi 5 unità ed è l’ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti 3 e 4. Il settimo numero quadrato pitagorico, cioè 49, ha per l’Insegnamento filosofico Cinese un’importanza fondamentale com’è specificata nei “Yi-King” o Libro dei Mutamenti[7].
 
Il numero della Quantità Totale è 50, di questo se ne prendono 49. Si dividono in due parti, per raffigurare le Due Forze fondamentali. [8]
 
Nella divinazione col metodo de “Yi-King”, si usano 50 steli di millefoglie, ma se ne usano 49 cioè 7x7. Gli steli del millefoglio, dice il Libro dei Mutamenti “sono di specie rotonda e spirituale”, il significato è che 49 = 7x7 è un numero dello Spirito. La somma dei primi Cinque numeri Dispari o del Cielo è 1 + 3 +5 +7 + 9 = 25. La somma dei primi Cinque numeri Pari o della Terra è 2 + 4 +6 +9 + 10 = 30. La somma dei Cinque numeri del Cielo con i Cinque numeri della Terra fornisce come risultato 55 togliendo al totale 5, il Numero del Mutamento, si ottiene 55 – 5 = 50, il numero della Quantità Totale.  
 
[1] Platone Timeo 50 c-d,
[2] Platone Repubblica 546 b.
[3] Plutarco (De Iside et Osiride 373-4)
[4] Plutarco, De defectu oraculorum 429 e.
[5] Schwaller de Lubicz, la  Scienza Sacra dei Faraoni, pag. 104, Edizioni Mediterranee.
[6] Progetto Polymath, Politecnico di Torino.
[7] Considerato da Confucio libro di saggezza è utilizzato a livello popolare a scopo divinatorio, mentre dagli studiosi è utilizzato per approfondire aspetti matematici, filosofici e fisici.
[8] Ta Ciuann, IX, 3.
 
IL SIGNIFICATO MISTERICO DEI POLIGONI REGOLARI
 
Le figure geometriche puramente fisiche stanno ai Numeri nella medesima relazione della Materia con lo Spirito — i poli estremi della Sostanza Unica. I Poligoni e i Poliedri non sono che glifi convenzionali dei veli, mentre i Numeri sacri puramente metafisici sono i simboli fondamentali di Tutto. Il significato dei Numeri e delle figure geometriche era completamente rivelato solo per mezzo dell’Iniziazione. Attualmente non possiamo fare altro che accostare i vari frammenti d’insegnamento metafisico con la conoscenza della geometria e matematica profana.
 
Il Poligono regolare è la prima forma geometrica un archetipo, una rappresentazione della potenza del Numeri nella manifestazione. Il poligono regolare è una figura geometrica bidimensionale caratterizzata da un numero di lati uguali e angoli fra loro (equiangolo) fra loro uguali. Ogni Poligono regolare con “n” lati è inscrivibile e circoscrivibile in due circonferenze, tracciando le bisettrici degli angoli interni si ottengono “n” triangoli isosceli tutti congruenti con la base coincidente con uno dei lati del poligono e con un vertice in comune, che risulta quindi essere il centro di tali circonferenze. L’angolo al vertice vale 360°/n. Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a (1 - 2/n)x180°. Il valore minimo è 60° per il Triangolo Equilatero, per poi crescere tendendo a 180° quando il poligono si annulla nella circonferenza. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono. Nel caso del Triangolo Equilatero vale 1/2, un rapporto di ottava col cerchio circoscritto.
 
L’angolo costituisce l’elemento di collegamento tra due lati. Ananda Coomaraswamy scrive che in varie lingue le parole che significano angolo sono spesso in rapporto con altre che significano testa (in greco, kephalê) ed estremità. La parola araba di angolo rukn designa le estremità di una cosa, cioè le sue parti più remote e di conseguenza più nascoste, assumendo il significato di “segreto” o di “mistero”; il suo plurale arkân si avvicina al latino arcanum. Inoltre, rukn ha anche il senso di “base” o di fondamento.
 
Il poligono con i suoi “n” lati che collegano i vertici, circoscrive un mondo, un perimetro, una porzione nello spazio che geometricamente è l’area del poligono che rappresenta il limite entro cui agisce quell’Intelligenza Cosmica descritta da uno specifico numero o poligono.
 
Figura 1. Vertici Centri di Energia irradiante
 
 
Il numero dei vertici “n” è la prima rappresentazione formale del Numero in sé. I Punti che rappresentano i vertici sono i centri d’irradianti Cerchi di Energia. Il numero Tre è il primo numero che ammette una rappresentazione i superficie, un Triangolo.
 
Gli “n” lati sono in relazione con gli “n” triangoli isosceli cui superfici sommate formano l’area del poligono, il luogo sacro dove si concentrano tutte le energie materiali e spirituali. Prendendo come riferimento poligoni inscritti in cerchi di raggio r = 1, gli unici due poligoni che presentano superfici espresse con numeri interi sono il Quadrato Area = 2 e il Dodecagono Area = 3.

 
Figura 2. Triangoli isosceli formano l’area del poligono
 
Le diagonali sono gli strumenti di generazione, sono delle linee di forza emanate dai punto o vertici. All’interno dello spazio delimitato dai lati del Poligono, si generano altre geometrie tramite le azioni di diagonali che collegano un vertice all’altro. Nel Poligono abbiamo due tipi di diagonali: quelle che collegano fra loro i vertici che creano la figura geometrica, e quelle che escono dal baricentro della figura che la scompongo in atomi elementari, cioè in Triangoli. Nel caso dell’Esagono gli atomi elementari sono 6 Triangoli Equilateri.
Figura 3. Diagonali  nel Pentagono
 
Nel caso del Pentagono, le diagonali che collegano i suoi vertici, formano una Stella a Cinque punte. Le diagonali intersecandosi creano all’interno della Stella di nuovo un Pentagono regolare ma capovolto rispetto all’originale. Dentro di questo secondo pentagono si può ridisegnare un’ulteriore stella a cinque punte, dentro cui c’è un nuovo pentagono regolare. È evidente che si può teoricamente procedere all’infinito. Il principio secondo il quale qualcosa ha la stessa forma sia dentro sia fuori si chiama frattalità. Il frattale è il modo perfetto per rendere comprimibile qualsiasi cosa e significa frazione del tutto, cioè ogni pezzo del tutto può essere contenuto in una frazione o parte: principio di auto similitudine.
 
IL QUADRATO
 
Poiché le diagonali sono strumenti di generazione, si comprende perché Platone nel Timeo scrive che Quattro Triangoli Isosceli formato un Tetragono Equilatero, cioè un Quadrato.
 
Le diagonali con passo p=1 collegano fra loro i quattro punti o vertici creano la figura geometrica, e quelle che escono dal baricentro della figura.
 
Le diagonali con passo p=2 collegando i vertici opposti s’intersecano nel baricentro della figura e coincidono con le diagonali che escono da tale centro. Le diagonali creano Quattro Triangoli Rettangoli Isosceli, che uniti tra loro attraverso l’angolo retto, formano un Quadrato.
 
È da notare che il Quadrato non è costruito nel modo più semplice, con una sola diagonale, mediante due soli triangoli rettangoli isosceli, bensì con tutte due le diagonali che s’incontrano nel baricentro della figura.

 
Figura 1. Il quadrato formato con 4 triangoli rettangoli isosceli
 
Le diagonali nei poligoni sono strumenti di generazione, nel Quadrato sono 2 che incrociandosi individuano 4 Triangoli con vertice al centro della figura. La Diade raddoppiata crea la superficie del Quadrato con Quattro Triangoli Rettangoli Isosceli, uniti tra loro attraverso l’angolo retto.
 
La Tetrade è la Diade raddoppiata, il prodotto del primo numero moltiplicabile che è Due: 2x2=4. Secondo Confucio: “Il Grande Estremo (il Circolo) produce Due Numeri; questi Due producono a loro volta le Quattro Immagini”. Il Nome di Colui che non avrebbe Nome Pronunciabile era sostituito dal sacro numero Quattro di Quattro Lettere. Scrive Platone nel Timeo, si generano le Quattro Entità che sono alla base della costituzione del Cosmo: Terra, Acqua, Aria, Fuoco. Il Quadrato rappresenta la sintesi degli elementi. Proclo nel suo Commento al Libro I degli Elementi di Euclide, scrive che Filolao affermava che l’angolo del Quadrato apparteneva a Rhea. Secondo gli antichi greci, la prima coppia, Kronos e Rhea, genera la seconda coppia, Zeus e Hera. Plutarco, e Damascio c’informano che i Pitagorici affermavano che il Quadrato attraverso l’angolo retto riuniva la potenza di Rhea, di Afrodite, di Demetra, di Hestia e di Hera. Significa che Rhea, la Madre degli Dèi, la fonte della durata, si manifestava attraverso le modificazioni dei Quattro Elementi simbolizzati da Afrodite, che era l’Acqua generatrice, da Hestia, che era il Fuoco, da Demetra che era la Terra, e da Hera che era l’Aria.
 
Il Quattro, geometricamente è il Quadrato Perfetto, nessuna delle linee che lo limitano sorpassa di un sol punto la lunghezza delle altre. È l’emblema della Giustizia Morale e dell’equità divina geometricamente espresse nella Divina Misura. La Tetrade rappresenta la Giustizia perché divisibile equamente da entrambe le parti. Secondo il Neoplatonico Anatolio, il Quattro è chiamato Giustizia perché è il solo numero per il quale l’area del quadrato è uguale a quella del perimetro. I numeri prima del quattro hanno perimetro maggiore dell’area; i numeri dopo il quattro hanno perimetro minore dell’area.
 
Il Quadrato è una figura antidinamica, ancorata sui quattro lati, rappresenta l’arresto. Il Quadrato però aveva anche un altro nome; era la dünamics, la Potenza, nome che è rimasto anche nella nostra nomenclatura matematica. Il Quadrato rappresenta la perfezione materiale mondo materiale, al fine di poter poi conseguire la perfezione spirituale. Il Quadrato rappresenta il modello del recinto sacro (Tempio), fondamento della congiunzione dei Quattro punti cardinali, nonché sulla simmetria dei lati opposti.
 
Inscrivendo un Quadrato all’interno di un Cerchio di raggio Unitario, il lato è un numero irrazionale √2. Il Quadrato è scomposto in Quattro Triangoli rettangoli isosceli con ipotenusa √2 e cateti 1, con angoli retti di 90°al centro.
 
  • Il Quadrato è caratterizzato da angoli retti di 90°, ed è scomposto in Quattro Triangoli isosceli con angoli retti al centro.
  • L’angolo retto di 90° ha il significato di Rettitudine cioè Giustizia ed Equilibrio.
  • La diagonale del Quadrato figlia della rettitudine, è un segmento incommensurabile √2, che nasce per effetto della polarità maschile - femminile dei cateti di lunghezza uno.
 
Figura 2. La crescita del quadrato

 
 
  • Il Quadrato costruito sull’irrazionale √2 ritorna ad essere un numero razionale: Area = 2. La crescita dalla diagonale del Quadrato è il raddoppio.
 
La lettera R, come simbolo matematico di radice, comparve nelle opere di Leonardo Pisano (1180 circa-1250), noto anche con il nome di Fibonacci. Luca Pacioli, alcuni secoli dopo, apportò una piccola modifica al simbolo: sbarrò la lettera R e introdusse l’uso degli esponenti per indicare l’estrazione della radice quadrata (R2) e di quella cubica (R3). La deformazione simbolica della R in √ portò all’attuale simbolo di radice.
 
Platone considerava il Cerchio e il Quadrato come assolutamente belli in sé. La forma quadrangolare è adottata per delimitare numerosi luoghi come la piazza pubblica di Atene. Spesso questo Quadrato è inscritto in un Cerchio, sommità di una collina rotonda, come per gli accampamenti e per i templi oppure in fondo a un cerchio di colline, come per Roma. Secondo la versione di Plutarco sulla fondazione di Roma essa fu insegnata a Romolo dagli Etruschi come nei Misteri. Si scavò dapprima una fossa rotonda, dove furono gettate le offerte e che ricevette il nome di Mundus (cioè cosmo). Il Mundus era considerato il centro, l’Asse del Mondo, che collega la Città materiale al mondo spirituale, cosi come il cordone ombelicale collega il bambino alla madre. All’interno del cerchio la città aveva una forma quadrata: la città era divisa in quattro parti da due arterie, il cui punto di intersezione coincideva con il Mundus. Roma era chiamata dagli antichi urbs quadrata, e Plutarco afferma che Roma era al tempo stesso un cerchio e un quadrato. Il Quadrato dentro il Cerchio è la più potente delle figure il simbolo delle Quattro Forze o Poteri Sacri entro i limiti interni dell’Infinito, che nessun uomo, nessuno spirito, nessuna Divinità può attraversare.
 
Nell’antica Cina, la creazione veniva rappresentata da una moneta con un foro quadrato. La parte esterna alla circonferenza rappresenta il Cielo Yang, la parte interna, il foro quadrato, rappresenta la Terra Yin. I due Principi sono rappresentati con dei vuoti: il vuoto del quadrato finito, il centro di gravità materiale, il vuoto circolare di là dal quale vi è l’infinito. Fra il Cerchio e il Quadrato vi è il metallo della moneta, l’Uomo con i piedi sulla Terra sul Quadrato e la testa tonda verso il Cielo. Un Cerchio, un Quadrato e, al centro, un’emblematica figura d’uomo. Chi non conosce questo straordinario disegno delle Gallerie dell'Accademia di Venezia, noto come “L’uomo Vitruviano” di Leonardo da Vinci?
 
PENTAGONO
                                                                                                                        
Il Principio Indeterminato “2” è l’origine del Pari, l’altro principio, il migliore è l’origine del Dispari “3”: dalla loro somma deriva il numero “5”. Quando furono uniti, il Principio Superiore riuscì ad imporsi sull’Indeterminato, causa del dissolvimento della materia[1].
 
Figura 1. Angoli del Pentagono
 
 
Il Principio Indeterminato è rappresentato dai Due Punti situati alla base del Pentagono. Il Principio Superiore è rappresentato dai Tre Punti o vertici superiori della figura. La loro unione forma il numero Cinque la cui figura geometrica è un Pentagono. Il Cinque è il numero della formazione e del mutamento perché il processo creativo si basa su questo numero.
 
  • Nel mondo del pensiero                  1 + 2 = 3      la Trinità Astratta
  • Nel mondo quadratico della forma   12 + 22 = 5   il Figlio, l’Uomo
 
Nel mondo della forma il posto del numero Tre è occupato dal numero Cinque. Il Pentagramma prende il posto del Triangolo Astratto. In questo caso si ha l’Epifania, cioè la nascita di Horus, il Figlio. L’uomo con le sue Cinque estremità è il Pentagono. Il Pentagono, però oltre ad essere il simbolo dell’uomo fisico, è piuttosto il simbolo dell’uomo pensante cosciente (in Oriente, la mente o Manas è il quinto principio).
 
Prendendo come riferimento il centro della circonferenza circoscritta s’individuano 5 Triangoli Isosceli, i cui angoli sono 72° al vertice e 54° alle basi. Questi 5 triangoli sono generati dalle diagonali che partono dal baricentro del poligono. Ricordiamo che il Triangolo Isoscele raffigura la natura dell’Anima, perché egli partecipa tanto dell’umana passione, quanto della potenza divina.
 
Numerando i 5 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i punti o vertici della figura, abbiamo due possibili avanzamenti o passi:
 
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i confini, i 5 lati del Pentagono.
  • Due l’avanzamento p=2 cioè 1-3-5-2-4 crea un Pentalfa o una stella a cinque punte.
 
Figura 2. Angoli del Pentalfa
 
 
Unendo tramite delle diagonali i Cinque vertici del Pentagono regolare si disegna un Pentalfa, una stella formata da Cinque Triangoli Isosceli le cui basi coincidono con i lati del Pentagono, con angoli al vertice di 36° e alla base di 72°. Solo per il Pentagono il numero delle diagonali coincide con il numero dei lati.
 
L’angolo al vertice del triangolo isoscele è il numero 36 tanto caro ai Pitagorici è una forma della Tetrade che prendeva il nome di Mondo: “La forma più alta di giuramento”. L’altro angolo di 72°, coincide con il numero dei congiurati che con i coltelli uccisero Osiride, rinchiudendolo nella Bara, precipitandolo nel mare della manifestazione, nel Mondo del creato. La Tradizione Cristiana pone a 72 il numero delle spine (simboli dei coltelli) della corona che fu posta prima di morire sul capo di Gesù, e a 5 il numero delle ferite mortali. Il sacro nome di IHVH combinato nella forma della Tetrade pitagorica vale 72, come il numero dei suoi ineffabili nomi. Come i Pontefici di Iside, anche quelli di IHVH per ordine di Mosè dovevano indossare sopra la veste bianca, un’altra chiamata piviale attorno alla quale erano attaccati 72 campanelli d’oro. Questo numero è in relazione con il Tempo: lo spostamento dell’asse terrestre dovuto alla precessione degli equinozi è di un grado ogni 72 anni.
 
L’angolo di base del triangolo Isoscele di 54° non visibile è la metà dell’angolo di 108°fra due lati del Pentagono. Il significato esoterico del numero 108 è l’apparizione dell’Uno che esce dall’Uovo o Zero, seguito dall’Otto cioè dal potere della manifestazione, espresso nel Duplice Quadrato. Secondo i Veda, quando l’Universo fu creato, il Creatore stabilì 108 divinità per gestirlo. Il dio Shiva ha eseguito la sua danza cosmica in 108 pose. Ci sono 108 grani nei rosari usati dai Buddisti e dagli Induisti. I libri sacri tibetani del Khangiur sono 108 volumi. Uno dei significati buddisti per il 108 è il numero di Klesas (contaminazioni mentali). In Giappone, i gradini che portano al tempio buddista sono 108, inoltre a capodanno, le campane suonano 108 rintocchi: sono i peccati (le contaminazioni) da evitare per raggiungere il Nirvana (così come fece Buddha). Le maggiori scuole di buddismo riconoscono l’esistenza di 108 Bonno[2], così chiamate perché causano al corpo e alla mente afflizione e sofferenza. Nell’Odissea Ulisse ha dovuto annientare 108 proci (anagramma di porci) al suo ritorno ad Itaca. II numero 108, come il numero 72, è legato al computo del tempo e sia alla via della sofferenza.  Il numero delle strofe del Rig Veda è 10.800 per 40 sillabe per strofe 432.000 sillabe totali, 432 è il numero chiave per la misura del ciclo del tempo; 10.800 sono gli anni dell’Aion o del Grande Anno di Eraclito. Per i Cinesi le 108 stelle del destino sono suddivise in 36 stelle benefiche o del Cielo e 72 stelle malefiche o della terra, il bene e il male in diverse forme. Questi due numeri compaiono nel triangolo che individua sia il Pentalfa sia il Decagono. II numero 108, come il numero 72, è legato al computo del tempo e sia alla via della sofferenza. Il rapporto fra il lato maggiore del triangolo isoscele e il lato minore cioè il rapporto fra la diagonale stellata del Pentalfa e il lato del Pentagono, determina il segmento aureo cioè 1/0,618 = 1,618 che si può scrivere: 1/φ = Φ.
 
È noto che Pitagorici usavano come simbolo di riconoscimento una stella a cinque punte denominata Pentalfa o Pentagramma, con questo nome i Pitagorici indicavano il Pentagono regolare stellato. La figura è costituita da un’unica linea chiusa che s’intreccia, dando luogo a segmenti i cui rapporti si richiamano alla sezione aurea. Etichettato con le lettere U (Y), G, I, EI, A sui suoi punti che rappresentano l’armonia di elementi e spirito (la parola hugieia significa salute), come segno distintivo con cui i suoi iniziati potevano passare le informazioni dall'uno all’altro, semplicemente lasciando questo segno in un luogo designato.
 
I Pitagorici apparentemente etichettarono i punti o gli angoli del Pentagramma con le lettere greche ΥΓΙΕΙΑ (UGIEIA). Allman[3] (pagina 26) li mostra sui punti disposti in senso antiorario dall'alto così: Υ-Γ-Ι-ΕΙ-Α (UGI-EI-A). Allman osserva che i pitagorici hanno scritto upsilon, gamma, iota, theta, alfa nei punti, forse perché un epsilon e una iota adiacenti (E) assomiglia a un theta (ϴ). Anche Chasles (1875, 478-479) elenca queste cinque lettere, citando Alstedius (Encyc. Univ., 1620) e Kircher (Arithmologia, 1665). Guardando la figura del De occulta philosophia di Agrippa (III, cap. XXI) vediamo un pentagramma verticale circondato da due anelli; tra gli anelli e allineati con gli angoli tra i punti del pentagramma ci sono lettere greche che leggono in senso orario: “UGI? A”. La misteriosa quarta lettera non è completamente chiara nella mia edizione di Agrippa (Brill, 1992), ma il suo aspetto è coerente con una comune abbreviazione medievale per EI o ei (che sembri vagamente una theta, ma è più simile a un segno di dollaro fatto senza sollevare la penna). Le Imagini degli Dei Antichi di Vincenzo Cartari (Venezia 1609, Padova 1626) mostra un anello con sigillo pitagorico recante un pentagramma verticale etichettato sia con Hugieia che con Salus. Le lettere greche ΥΓΙΕΙΑ (UGEIA) sono in senso orario nei punti, iniziando dal braccio in alto a sinistra. Le lettere romane SALUS sono in senso orario negli angoli, a cominciare dall'angolo in basso a sinistra (il latino Salus ha lo stesso significato di Hugieia). Quindi, anche se possiamo concludere che i Pitagorici hanno etichettato il Pentagramma con le lettere Υ-Γ-Ι-ΕΙ-Α (UGI-EI-A), a volte li troviamo in senso orario, a volte in senso antiorario e posti sui punti che iniziano in alto (Alstedius, Kircher) o negli angoli che iniziano in alto a destra (Agrippa). Poiché le prove storiche per il posizionamento sono tardive e incoerenti, ho     sviluppato un Pentacolo pitagorico che incarna molte importanti relazioni alchemiche, magiche e astrologiche; in effetti, funziona come una sorta di computer alchemico. Il pentagramma è inscritto in un pentagono con le lettere U, G, I, EI (o Th), A scritto in senso orario sui punti che iniziano nel punto in basso a sinistra[4].
 
Figura 3. Ugieia
 
 
Heinrich Cornelius Agrippa, e altri, riconobbero le lettere come le cinque lettere iniziali delle parole: hydor (acqua, spesso traslitterata come idro), ge (terra, Agrippa usato gaia), idea (l’idea platonica ), eile (a volte scritto come heile, calore, e aer (aria). Tuttavia, si noti che lo schema utilizzato da Agrippa, utilizza il calore (heile), che non è un elemento ma una qualità dell'elemento fuoco.
 
  • Y indica Acqua, Hydor
  • G indica Terra, cioè Gaia
  • I indica Idea, cosa divina Etere
  • EI indica Fuoco, calore (Therma)
  • A indica Aria.
 
I suoi vertici erano segnati con le lettere della parola “ugieia” (YGIEIA) che significa salute. La salute è per il corpo ciò che l’armonia è per l’essere totale. Ciascuna delle lettere che compongono la parola “u g i e i a” è una lettera pitagorica, densa di significato misterico:
 
  • Y, upsilon, lettera pitagorica per eccellenza, simbolo delle “Due Vie, di destra verso lo Spirito e di sinistra verso la Forma”.
 
Uscita dal corpo, l’anima aveva camminato con altre anime ed erano arrivate in un luogo meraviglioso, dove si aprivano due voragini nella terra, contigue e di fronte a queste alte nel cielo, altre due. In mezzo sedevano i Giudici che dopo il giudizio invitavano i Giusti a prendere la Via di Destra che saliva attraverso il Cielo … e gli ingiusti a prendere la Via di Sinistra, in discesa[5].
 
  • G, gamma, la lettera che ha la forma della squadra, simbolo essenziale dell’angolo della rettitudine.
  • I, iota, simbolo universale dell’Unità.
  • EI, è l’iscrizione misterica incisa sulla porta del tempio di Delfi, e che, per risposta all’ingiunzione: “Conosci te stesso”, formula esplicitamente la dottrina dell’Identità con il Principio Spirituale.
  • A, alfa, la prima lettera, l’origine delle lettere e della manifestazione.  
 
[1] Plutarco, Dialoghi Delfici.
[2] Il termine Bonno può essere spiegato ulteriormente come quel che disturba la mente e il corpo e impedisce la giusta visione, cioè l’illuminazione.
[3] Allman, George Johnston (1889). Geometria greca da Talete a Euclide. Dublino: Hodges, Figgis & Co.
[4] http://opsopaus.com/OM/BA/PP/index.html
[5] Platone, Repubblica.
 
ESAGONO
      
Il numero 6 per i Pitagorici esemplifica un valore geometrico assoluto, in quando l’Esagono inscritto nel Cerchio ha un lato uguale al raggio del cerchio stesso ed è, insieme al Triangolo ed al Quadrato, una forma che investe un’area senza soluzione di continuità. Inoltre il numero 6 si può esprimere con una Stella a Sei Punte composta di due Triangoli Equilateri opposti e sovrapposti, quale simbolo dell’evoluzione e dell’involuzione, dell’eterna unione di Spirito e Materia il cui risultato è il ritmo: la Materia seduce la forza dello Spirito e la involve, la forza dello Spirito ispira la materia e la evolve. Il numero sei in latino è sex l’unione fra il maschile e il femminile Pertanto, la Stella a Sei Punte rappresenta il Macrocosmo, mentre quella a Cinque Punte è il Microcosmo o l’uomo terreno. L’essenza del Sei è l’Armonia, il mondo del creato, la natura, le Sei direzioni dello spazio.   
Figura 1. L’Esagono e le sue diagonali
 
 
Le diagonali che escono dal baricentro dell’Esagono dividono lo spazio in Sei Triangoli Equilateri ed Equiangoli con angoli di 60°. Il Triangolo Equilatero è l’emblema della Divinità. Anu[1], il Cielo dei Sumeri ha come cifra 60. In India “rudu” l’unità di misura di tempo del calendario Tamil (Tirukkanda Panchanga), è equivalente a quattro Paccham, o due mesi solari, o 60 giorni. Tre Rudu fanno 180 un Ayanam, due Ayanam fanno 360 un anno solare, ossia un Giorno degli Dei. I Caldei per il calcolo dei tempi utilizzavano il Soss 60, il Saros 602, e il Grande Saros 603.
 
Numerando i 6 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i punti o vertici della figura, abbiamo due possibili avanzamenti o passi:
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i confini, i 6 lati dell’Esagono.
  • Due l’avanzamento p=2 crea due gruppi, uno dispari 1-3-5 che forma un Triangolo Equilatero, e uno pari 2-4-6 un secondo Triangolo equilatero opposto al primo. Si crea così il Doppio Triangolo.
  • Tre l’avanzamento p=3 collega i vertici opposti dell’esagono sovrapponendo le tre diagonali con quelle che escono dal centro della figura.
 
Da ogni vertice partono tre diagonali che dividono in quattro angoli il vertice del pentagono di 120°. Indicando con “n” il numero dei lati del poligono regolare, il numero diagonali è d = [n·(n-3)]/ 2 = [6·(6-3)]/ 2 =9. Il numero delle diagonali è 9 = 32, il numero perfetto. Sei di queste diagonali formano il Doppio triangolo o la stella a 6 punte, le restanti Tre (colore viola) dividendo l’angolo al vertice di 120° a metà 60x2 tracciano in piano bidimensionale le Sei direzioni dello spazio.
 
L’Esagono per i Pitagorici esemplifica un valore geometrico assoluto, in quando inscritto nel Cerchio ha un lato uguale al raggio del cerchio stesso, insieme al Triangolo e al Quadrato, sono gli unici poligoni che possono tassellare lo spazio.
 
L’Esagramma la Stella a Sei Punte è composta di due Triangoli Equilateri opposti e sovrapposti, quale simbolo dell’evoluzione e dell’involuzione, dell’eterna unione di Spirito e Materia il cui risultato è il ritmo: la Materia seduce la forza dello Spirito e la involve, la forza dello Spirito ispira la materia e la evolve. Il numero sei in latino è sex l’unione fra il maschile il Triangolo con il vertice in alto e il femminile il Triangolo con il vertice in basso. La Stella a Sei Punte rappresenta il Macrocosmo, mentre quella a Cinque Punte è il Microcosmo o l’uomo mortale. Questo doppio Triangolo in oriente è lo Shri-Antara dei Brahmani, il segno di Vishnu; e in occidente è il sigillo di Salomone.
 
L’Esagono esprime il Sei, il numero della creazione: il mondo fu creato in sei giorni; secondo San Clemente d’Alessandria fu creato nelle Sei direzioni dello spazio, i Quattro punti cardinali, più lo Zenit e il Nadir. L’essenza del Sei è l’Armonia, il mondo del creato, la natura, le Sei direzioni dello spazio. Rappresentando la Croce a bracci uguali in uno spazio tridimensionale, si ottengono Sei Raggi, Tre Coppie di opposti, più il Punto centrale di sintesi, l’immagine dell’Uno nel mondo oggettivo. Nelle Sei direzioni dello spazio (i Tre assi spaziali sono polarizzati, positivi e negativi), la natura umana e quella divina trovano il loro equilibrio nel Punto centrale, il Settimo. Il profeta Ezechiele[2] dice che la Gloria di Dio viene da Oriente, mentre Geremia e Isaia dicono che tutto il male viene dal Nord e dall’Ovest, da cui ritorna il male fatto dagli uomini ad altri uomini, mentre Est e Sud sono direzioni benefiche. S. Ambrogio diceva che nella cerimonia del Battesimo si maledice il vento del Nord, si respinge colui che dimora a Occidente, e poi ci si rivolge a Oriente verso la Luce. Il Nadir è considerano la fossa del cielo ed è ritenuto malefico.
 
Poiché la Natura aborre il vuoto, lo spazio è pieno cioè è riempito di materia, tassellato. Una tassellazione dello spazio è un riempimento (rappresentato attraverso un suo frammento) dell’intero spazio infinito, realizzato affiancando solidi geometrici in modo da non lasciare spazi vuoti. Una tassellazione è dunque un insieme di figure (forme) che riempie lo spazio senza sovrapposizioni e senza lacune. Nello spazio bidimensionale, il Triangolo e il Quadrato tassellano lo spazio.
 
Attorno ad un punto centrale, tramite esagoni contigui, si ottiene il riempimento totale e indipendente dalla direzione (isotropo) del piano.
 
Figura 2. Tassellazione dello spazio bidimensionale
 
 
L’esagono è la forma che copre e crea spazio aperto al meglio, riducendo al minimo il confine. Questo riduce al minimo la quantità di materiale necessario per costruire questi limiti, quindi l'uso di esagoni da parte delle api da miele. Questo è il motivo per cui le compagnie di telefonia cellulare utilizzano “celle” esagonali per mappare e distribuire le loro torri di telefoni cellulari. In meccanica un esagono crea la migliore coppia possibile per questo motivo lo vediamo nella forma dei dadi che si avvitano sui bulloni. Gli esagoni sono strutturalmente stabili - la loro regolarità e uniformità di forma consente la perfetta distribuzione del carico.
 
[1] La Triade divina fondamentale dei Sumeri è costituita da Anu, En.lil ed En.ki i cui ambiti corrispondono ai tre stadi cosmici: il Cielo, su cui regna Anu il cui numero è 60, la Terra su cui domina En.lil il cui numero è 50, infine ciò che è sotto la terra, l’Abisso, che costituisce il dominio di En.ki il cui nome più antico è Ea il cui numero è 40.
[2] Ezechiele, cap. III, 4.
 
EPTAGONO

Prajapati, l’Uomo Celeste della mitologia Indù, fu diviso in Sette pezzi, al pari di Dionisio Zagreo, le Sette parti della ricostruzione di dell’Uomo Celeste, sono suddivise in due gruppi di 4 e di 3. Con questa raffigurazione, il numero Sette si può esprimere attraverso la somma di TRE o di un Triangolo Δ e di QUATTRO o di un Quadrato o.
 
Quando i Tre e i Quattro si baciano, il Quaternario congiunge la sua natura media con quella del Triangolo e diventa il Cubo, solo allora esso (il Cubo disteso a Croce) diventa il veicolo e il numero della Vita: Il Padre-Madre Sette.[1]
 
Figura 1. Triangolo e Quadrato
 
 
Quando il Quadrato Perfetto, la superficie astratta, il modello cade nel mondo delle forme e si concretizza, allora la superficie diviene un volume, il Cubo Perfetto. Sviluppando il cubo in un piano si ottiene la croce. Sei sono le facce del Cubo, che trovano la sintesi o l’equilibrio nel Settimo. Nel caso dello sviluppo della Croce, contando Tre facce orizzontalmente e Quattro facce verticalmente, si ottiene in totale: 3 + 4 = 7, il settimo non compare se non contato nelle due direzioni. Nel Cubo della Materia è imprigionato e crocefisso lo Spirito. La Crocifissione Cosmica ha a che fare con il Mistero del Primogenito che per manifestarsi si sacrifica ed è ucciso nella Croce della Materia donando la sua Vita per infondere Coscienza alla manifestazione. 3
Secondo gli studiosi i Pitagorici si fermarono di fronte all’Eptagono perché non si può costruire con squadra e compasso, si può disegnare solo in modo approssimato[2]. Il numero Sette era assimilato dai Pitagorici ad Atena o Minerva, perché è considerato vergine cioè non generato[3] per moltiplicazione da alcun numero della Decade. Gli umanisti rapportarono spesso Atena-Minerva alle 7 Arti Liberali privilegiando la Geometria. L’Eptagono rappresentazione del numero Sette poiché è senza Madre non è generabile con riga e compasso.  
Figura 2. Eptagono

 
Le Sette diagonali che escono dal baricentro dell’eptagono scompongono il poligono in Sette Triangoli Isosceli con angolo al centro di 360°/7. Nonostante che gli angoli interni dell’Eptagono non siano numeri interi 128 e 4/7° ≅ 128,57°, la somma dei sette angoli è 900, 9x100 un numero perfetto[4].
 
L’Eptagono è il più misterioso dei poligoni elementari. Fin dall’antichità si capì che non era facilmente costruibile e sebbene non sia elencato espressamente tra i problemi aperti, costituì una specie di riserbo, per cui non era neanche citato. Secondo gli studiosi i Pitagorici si fermarono di fronte all’Eptagono perché non si può costruire con squadra e compasso, si può disegnare solo in modo approssimato[5]. L’Eptagono rappresentazione del numero Sette poiché è senza Madre non è generabile. I Pitagorici chiamavano il numero 7, Eptagono e lo consideravano come il numero religioso e perfetto per eccellenza. Era detto Telesforo, poiché “per mezzo di esso, tutto nell’Universo, era portato alla sua mèta più alta, vale dire al punto culminante e conclusivo”.
L’eptagono ha n(n-3)/2 = 7(7-3)/2 = 14 diagonali che formano due gruppi di 7 con diversa lunghezza. Osserviamo che la somma delle diagonali del Pentagono “5” con quelle dell’Esagono “9” è uguale al numero delle diagonali dell’Eptagono, “14”, cioè il numero dello smembramento dell’Uomo Celeste. Il numero 36 tanto caro ai Pitagorici da essi visto come una forma della Tetrade è anche la somma di tre terne in progressione dei primi Sei numeri: 1-2-3, poi 3-4-5, infine 5-6-7. Ebbene, la terza terna, ci dice che questi tre numeri sono fra loro legati.  
Figura 3. Le 14 Diagonali dell’Eptagono
 
 
  • Le sette diagonali con passo p=2 formano una stella a Sette punte (colore giallo) 1-3-5-7-2-4-6.
  • Le Sette diagonali con passo p=3 formano una perfetta stella a sette punte 1-4-7-3-6-2-5, un Eptalfa;
  • Le 14=2x7 diagonali con passo 4 formano due diverse stelle a Sette punte.
 
Figura 4. Eptagono e note musicali e pianeti
 
 
L’antica dottrina delle Sette Sfere governate dai Sette Pianeti sacri insegnata dai Caldei a Pitagora, ci mostra le Sette grandi Forze dell’Universo che procedono e si evolvono secondo sette toni, corrispondenti alle Sette Note della scala musicale. Le Sette corde ottenute dal Tetracordo di Filolao scritte ordinatamente in modo che ogni corda sia seguita dalla sua Quinta[6], si succedono nell’ordine: DO – SOL – RE – LA – MI – SI – FA – DO’. Se in corrispondenza dei vertici dell’Eptagono si scrivono le sette note in quest’ordine e poi si seguono le diagonali stellate con p=2 partire dal DO si ottengono esattamente le Sette Note nell’ordine della scala musicale. Viceversa le Sette Note scritte nell’ordine della scala musicale seguendo le diagonali stellate dell’Eptalfa con P=3 si ottengono le Sette Note nell’ordine di Quinta[7].
 
I Caldei associarono i Sette pianeti sacri ai vertici di una stella a sette punte, disponendoli secondo precedente che coincide con l’ordine basato sulla velocità che aumenta dal punto di vista della Terra: Saturno, Giove, Marte, Sole[8], Venere, Mercurio, Luna[9].
 
Dione Cassio spiega che partendo dal dio e pianeta più esterno, Saturno, relativo giorno di sabato, si doveva procedere verso l’interno del sistema solare saltando due pianeti (Giove e Marte). Si arrivava così al Sole (giorno che poi è stato occupato dalla domenica cristiana). Questa disposizione fa si che, seguendo le frecce da pianeta a pianeta, si percorra l’ordine dei giorni della settimana[10]. Nel mondo romano il giorno che dava inizio alla sequenza era il sabato, il giorno di Saturno.
 Si misuri la distanza musicale tra i due luminari (Sole e Luna), i misuratori del tempo: tale distanza è una Quinta discendente. Si dispongano quindi le note della gamma (e rispettivi astri) per quinte discendenti, partendo dal pianeta più lontano, Saturno: si avranno i giorni della settimana, dal sabato al venerdì successivo. L’aspetto ciclico è messo in risalto disponendo i pianeti (e quindi i giorni) sulle punte dell’Eptalfa pitagorico. Se si percorrono le diagonali della stella, si ha l’ordine della settimana (freccia diritta); se invece si percorre il bordo della circonferenza, si nota che i medesimi astri (e giorni) sono distanti cinque posizioni (freccia curva).
 
[1] Scritto alchimista.
[2] La divisione del cerchio in sette parti fornisce il numero: 360/7=51,42857143.
[3] La generazione dei numeri avveniva pitagoricamente solo mediante la moltiplicazione.
[4] Sia l’Eptagono sia l’Ennagono (nove lati) non sono costruibili con riga e compasso.
[5] La divisione del cerchio in sette parti fornisce il numero: 360/7=51,42857143.
[6] I Greci facevano uso della scala musicale pitagorica basata sopra il principio di Quinta e chiamavano Armonia l’Ottava.
[7] A. Reghini, Numeri Sacri e Geometria Pitagorica, cap. III.
[8] Va anche ricordato che la Luna, come il Sole, sostituisce un pianeta segreto.
[9] Nel corso del tempo ogni giorno venne a chiamarsi con il nome del pianeta che governava il suo primo quarto: il mattino.
[10] Fino all’epoca dei Cesari non vi è traccia di una settimana di sette giorni in alcuna nazione salvo che tra gli indù. Dall’India essa passò agli arabi e raggiunse l’Europa con il Cristianesimo.
 
OTTAGONO                                                                                                       
                   
La Tetrade o Quaternario, riflettendosi su se stessa, produce l’Ogdoade, l’Otto, secondo gli Gnostici Marcosiani. Quest’assimilazione degli Elementi ai Quattro angoli di un Quadrato è naturalmente in rapporto anche con la corrispondenza che esiste fra questi e i punti cardinali. Plutarco spiega che i greci più antichi consideravano la Tetrade come radice e principio di tutte le cose, essendo il numero degli Elementi che davano origine a tutte le cose create, visibili ed invisibili. II mondo di Pitagora ci dice Plutarco, consisteva di un doppio Quaternario (Quadrato), cioè un Ottagono. Si dice che la Divinità sia maschio e femmina, bene e male, positivo e negativo, l’intera serie delle qualità contrarie. La Dottrina Pitagorica delle “coppie di opposti” si fonda sul fatto che ogni Elemento Cosmico come il Fuoco, l’Aria, l’Acqua e la Terra, partecipando delle qualità e dei difetti dei loro Primari, è Duale, nella sua natura, Bene e Male, Spirito (Forza) e Materia ... e ciascuno quindi è allo stesso tempo Vita e Morte, Salute e Malattia, la Buona e la Cattiva Sorte della filosofia confuciana.
Figura 1. Ottagono
 
 
L’Ottagono dai Pitagorici era ritenuto una delle figure geometriche più armoniose. L’angolo fra due lati dell’Ottagono è 135° cioè 5x33, gli otto angoli formano il numero 1080, ricompare il 108 legato alla limitazione della divinità nella forma. Il numero delle diagonali è [n·(n-3)]/ 2, con n=8 il risultato è 20.
 
Numerando gli 8 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, si hanno quattro possibili avanzamenti o passi:
 
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i confini, gli 8 lati del Ottagono. L’angolo ai vertici è 135°.
  • Due l’avanzamento p=2 crea due gruppi di diagonali che formano Due Quadrati dei quattro numeri dispari e pari 1-3-5-7 e 2-4-6-8.
  • Tre l’avanzamento p=3 unisce tutti gli otto numeri formando una Stella a 8 punte.
  • Quattro l’avanzamento p=4 unisce i vertici opposti facendo coincidere le 4 diagonali con quelle che escono dal baricentro della figura.
 
Figura 2. Le 20 Diagonali nell’Ottagono
 

 
Le venti diagonali sono divise in due gruppi, il primo gruppo di 8 è necessario a formare il doppio quadrato; il secondo gruppo di 8+4=12 formato da due sotto gruppi, il gruppo di 4 diagonali divide il cerchio in otto parti uguali e forma una doppia croce, la rosa degli Otto Venti[1] e concorre a formare i lati di 8 Triangoli Isosceli con vertici al centro le cui basi sono i lati dell’Ottagono; il secondo sottogruppo di 8 diagonali, forma otto triangoli isosceli le cui basi coincidono con i lati dei doppi quadrati dell’Ottagono Stellato. Tutti questi triangoli hanno angolo al vertice 90/2=45° e angoli di base 135/2=67,5°.
 
Figura 3. La Tetrade e l’Ottagono
 
 
Le diagonali dei poligoni regolari creano in modo frattale una copia più piccola del poligono stesso. Un’analoga creazione avviene partendo dalla Tetrade, dal Quadrato, utilizzando i quattro vertici ABCD e i quattro punti intermedi EFGH. In questo caso il lato dell’Ottagono interno rispetto al lato della Tetrade è in relazione con la radice quadrata di cinque che è la base del numero aureo:  
 
Secondo Vitruvio, la città ideale era a pianta ottagonale, il tempio della Luna per i Sabei era ottagonale, il tempio di Saturno descriveva un Esagono; il Tempio di Giove, un Triangolo; il tempio del Sole (la Ka’bah), un Quadrato. Questi templi possedevano, dei simboli e dei misteri che i Sabei non divulgarono mai. La Ka’bah ha una struttura quadrata come il tempio del Sole Sabeo, mentre la pianta ottagonale della Moschea della Roccia ha una struttura simile al tempio della Luna Sabeo. L’antica forma del Battistero cristiano è ottagonale perché l’Ottagono è simbolo di rinascita, simile a un paradiso terrestre. Il battesimo è la prima iniziazione cristiana, attraverso esso si entra a far parte della comunità della Chiesa, il passaggio dal mondo delle tenebre, Quadrato del male, a quello della Luce simbolizzato dal Quadrato del bene.
 
Secondo Confucio: “Il Grande Estremo (il Circolo) produce Due Numeri; questi Due producono a loro volta le Quattro Immagini, e queste danno origine agli Otto Simboli … Gli Otto Simboli rappresentano la buona e la cattiva sorte e conducono alle grandi azioni. Non si possono raffigurare immagini più grandi del Cielo e della Terra”.
 
Figura 4. L’Ottagono e gli otto simboli
 
Quando Yin e Yang interagiscono, generano Due figli e Due figlie, le Quattro Immagini. Ciascun figlio e ciascuna figlia a loro volta generano un altro figlio e un’altra figlia, dando così luogo agli Otto Trigrammi Fondamentali, gli Otto Segni. Padre e Madre, il Creativo e il Ricettivo, sono la coppia che genera Tre Figli Maschi e tre Figlie Femmine, in totale Otto. Gli Otto Segni sono generati dalle Quattro Immagini, come combinazioni matematiche di tre linee intere e spezzate 23 = 8. I Trigrammi rappresentano l’eterno ternario della manifestazione: “Fra il Cielo e la  Terra apparvero gli Uomini”. Compaiono i numeri del Creativo, del Ricettivo e 3 le coppie di Figli. Il numero 5=2+3 detto del Mutamento è fondamentale per tutta la filosofia cinese. Questi tre numeri si ritrovano nella figura geometria dell’Ottagono.
[1] Nella Bibbia, il Signore fa degli Otto Venti i suoi Messaggeri, gli Otto Angeli.
 
ENNAGONO
     
L’Ennagono il poligono regolare a Nove lati, come l’Eptagono non è costruibile col solo ausilio di riga e compasso, occorre un righello graduato. Il numero Nove è l’ultimo dei numeri monadici compresi nella Decade.  
Figura 1. L’Ennagono e le sue Diagonali
 
 
L’Ennagono è un poligono con gli angoli interni ai vertici di ampiezza contrassegnati dal numero Sette: 140°=2x70=2x7x10. Come per tutti i poligoni con numero dispari di lati, le diagonali condotte dai vertici non individuano i Triangoli Isosceli con vertice al centro del cerchio, che pertanto rimangono occultati. Questi triangoli hanno angolo di base 70° e angolo al vertice superiore 40°. I due angoli di 70° e 40° sono formati sui numeri 7 e 4: il numero 7 che coordinandosi con il numero 4 forma il numero 7x4=28, il settimo numero triangolare. Il numero occulto dell’Ennagono è dunque Sette!
 
Dai 9 vertici dell’Ennagono partono 27 diagonali 33, tre al cubo; aggiungendo al numero 27 l’Unità, si ottiene 28. Il numero Tre e il numero Sette sono dunque tra loro collegati.
Numerando i 9 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, abbiamo quattro possibili avanzamenti o passi:
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i confini, gli 8 lati dell’Ennagono. L’angolo ai vertici è 140°.
  • Due l’avanzamento p=2 crea 1-3-5-7-9-2-4-6-8 diagonali che forma una stella a 9 punte.
  • re l’avanzamento p=3 crea 1-4-7 e 2-5-8, 3-6-9 cioè tre triangoli.
  • Quattro l’avanzamento p=4 unisce i vertici 1-5-9-4-8-3-7-2-6 formando un’altra stella a 9 punte.
 
Le 27 diagonali sono divise in un gruppo di 9 e in un gruppo di 18. Il  gruppo con p=2 forma una stella a nove punte composta da 3 Triangoli che individuano  i 9 vertici. I Tre Triangoli rappresentano la perfezione del Tre riportata su tre livelli: corpo, anima e spirito. Questi numeri compaiono nell’Enneagramma dove compare solo il Primo Triangolo 9-6-3, gli altri due sono scomposti in una figura che collega i restanti sei vertici.
 
Per costruire l’Enneagramma, una volta suddiviso il cerchio in nove parti, si numerano i punti in senso orario da 1 a 9 e s’inscrive un Triangolo Equilatero simbolo del Divino, avente come base i punti 3 e 6 con il vertice rivolto in alto nel punto 9. La caduta nella manifestazione è la frammentazione, la frattalizzazione dell’Uno nel Sette. Il numero Sette è l’Unità nella manifestazione, il Logos, rappresentato dal Punto centrale nelle Sei direzioni dello spazio.
 
Figura 2. Costruzione dell’Enneagramma
 
 
Per la costruzione dell’Enneagramma, si divide l’unità, il numero 1, per il numero 7 e si ottiene un numero frattale, con periodo di sei numeri 142857 che si ripete uguale all’infinito 0,142857142857... La somma dei sei numeri ricorsivi 1+4+2+8+5+7=28 rappresenta il ciclo lunare. I punti restanti da collegare sono proprio questi sei numeri in questa successione; questi sei punti sono dinamici, si ripetono continuamente.
 
Se si moltiplica nove per se stesso 9x9, il risultato 81 è dato dall’otto nella colonna di sinistra e dall’uno nella colonna di destra. Il numero che rappresenta le decine è a sinistra, e il numero che rappresenta le unità è a destra. Moltiplicando 9x8, il risultato 72 è dato dal 7 nella colonna di sinistra e dal 2 nella colonna di destra, e così per il prodotto 9x6. Dal prodotto 9x5 l’ordine è invertito e speculare cioè il numero che rappresenta le unità, passa a sinistra, quello delle decine passa a destra ma riparte dal basso.
 
Se il numero periodico è moltiplicato per 2, 3, 4, 5 o 6 si ottiene una trasformazione ciclica dello stesso numero. In qualsiasi trasformazione ciclica di 142857 se si sommano opportunamente a coppie le cifre si ottiene un numero composto di soli 9.
 
  • 1 × 142,857 = 142,857 (la somma della prima cifra con la 4ª, la seconda con la 5ª, la 3ª con la 6ª, fornisce 9)
  • 2 × 142,857 = 285,714 (Come sopra)
  • 3 × 142,857 = 428,571 (come sopra)
  • 4 × 142,857 = 571,428 (come sopra)
  • 5 × 142,857 = 714,285 (come sopra)
  • 6 × 142,857 = 857,142 (come sopra)
  • Mentre se è moltiplicato per 7, il risultato non è una trasformazione ciclica del numero, ma è direttamente composto di soli 9    >>>   7 × 142,857 = 999,999
 
La sequenza dei sei numeri ci dice che dall’Uno si passa al Quattro (Dio che manifestandosi mostra Quattro Facce) da qui il Due, gli opposti, la polarità e il tutto riconduce alla perfezione dell’Otto... da cui il 5 il numero dell’Uomo che diventa Sette il puro Spirito, ed ecco che tutto ricomincia.
 
Nell’uomo, il Triangolo rappresenta il mondo spirituale superiore; le altre sei linee, l’esagramma rappresenta il percorso dell’uomo nel mondo fenomenico. I numeri 3, 6, 9 non sono compresi in questo periodo, perché formano il Triangolo Equilatero Divino, questi tre punti sono statici come un Osservatore, nel vertice vi è l’equilibrio della Base, la Diade, i numeri della base 3+6=9 forniscono il numero del vertice superiore, l’Uno Pitagorico che emette la Diade.
 
L’Enneagramma tiene conto della dinamica dell’essere umano, delle persone, della vita. Questo simbolo è anche chiamato legge del Nove ed è considerato la fusione della legge del Sette con la legge del Tre. Il Tre crea ed il Sette organizza, è questa la natura dell’universo che questo splendido simbolo cerca di trasmetterci. L’Enneagramma è dunque una variazione dell’Ennagono i cui vertici sono percorsi dalla legge del Tre e del Sette. G.I. Gurdjieff sosteneva che l’Enneagramma fosse un simbolo dinamico in grado di rappresentare l’intero universo.
Il simbolo dell’Enneagramma dove i Nuove numeri si distribuiscono in modo pitagorico, apparve in occidente nel 1916 tramite Georges Ivanovic Gurdjieff che affermò: “La Conoscenza dell’Enneagramma è stata preservata per molto tempo in segreto e se adesso, per così dire, è resa disponibile a tutti, è solo in una forma incompleta e teorica della quale nessuno può fare alcun uso pratico senza istruzioni da parte di chi sa”. Gurdjieff affermò che attinse l’Enneagramma e il nucleo della sua dottrina dalla Confraternita segreta di Sarmoung, fondata a Babilonia nel 2500 a.C. Il simbolo è attribuito ai Sufi (mistici islamici), che giustamente smentiscono, non proviene da loro è molto più antico. La comunità Sarmoung secondo le affermazioni di Gurdjieff si trova nelle montagne dell’Hindu Kush del nord dell’Afghanistan. Apollonio di Tiana dopo essere stato iniziato dai Caldei in Babilonia, secondo quanto dice Damis, il cui racconto fu copiato da un certo Filostrato, un centinaio di anni dopo si diresse verso l’Hindu Kush, dove fu guidato da un re alla dimora dei Saggi, luogo che forse esiste anche oggi, e in cui fu istruito dalla loro conoscenza insuperata[1].  
[1] Vedi dello stesso autore Vincenzo Pisciuneri: Asia culla della Quinta Razza e la Missione di Roerich in Asia Centrale.
 
DECAGONO                                                                                                                                                                                                                                                                            
L’Uno nell’Uovo Cosmico, la cui forma è il Decagono, è il Demiurgo, l’Uomo Celeste, rappresentato dal numero 10, il Due volte Cinque. Il Dieci è simbolicamente rappresentato dalla lettera greca Δ che ha la forma di un Triangolo Equilatero e dalla lettera latina X, il Demiurgo descritto nel Timeo da Platone. Un Decagono divide la circonferenza in Dieci Triangoli Isosceli, con angolo di 36° al centro del cerchio e angoli di base 72°. La base dei triangoli coincide col lato del Decagono. I Poligoni regolari inscritti e stellati nella circonferenza mediante la sua suddivisione in 10 parti uguali sono 4 e solo Quattro: Decagono, Pentagono, Decalfa, Pentalfa. Guarda, quelli che tu credi Quattro, sono Dieci, e il Triangolo perfetto ed il nostro giuramento[1].
L’angolo di 36° ci indica come ci riferisce Plutarco in Iside e Osiride, un’altra forma della Tetractis, che prendeva il nome di Mondo.[2] Il Triangolo Isoscele con gli angoli di base di 36° e l’angolo al vertice di 108° è chiamato il Delta luminoso.
 
L’angolo di base uguale a 72°, com’è stato precedentemente spiegato, è il numero della caduta del Divino nel mare della manifestazione, nel Mondo del creato. Questo numero è anche in relazione con il Tempo: lo spostamento dell’asse terrestre dovuto alla precessione degli equinozi è di un grado ogni 72 anni e 2 gradi ogni 144 anni.
 
Figura 1. Decagono angoli e diagonali
 
 
Il terzo numero chiave del Decagono è 144 (2x72), il valore dell’angolo fra due lati del Decagono, il quadrato di 12. Il numero 12 è sempre associato a un simbolismo circolare. La sapienza cinese recita: “I numeri che danno il Creativo sono 216; quelli che danno il Ricettivo sono 144, assieme fanno 360, essi corrispondono ai giorni dell’Anno”.[3] Il valore 144 è anche il numero delle Ore del giorno e della notte metaforicamente designate per la creazione del mondo: 24 ore x 6 giorni = 144 ore. Il moto giroscopico dell’asse terrestre che determina la precessione impiega 25776 anni per compiere una rotazione completa, mentre il moto di anticipo sul punto vernale, chiamato precessione degli equinozi, ne impiega 25920 = 144x180 per compiere un giro completo, durante il quale il Sole transita su ognuna delle 12 stazioni dello zodiaco per 2160 anni, spostandosi lentamente da una costellazione all’altra. Calcolando ora la differenza dei due periodi processionali, si scopre che essa è pari a 144 anni (25920-25776 = 144).
 
Numerando i 10 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, si hanno cinque possibili avanzamenti o passi:
 
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i confini, i 10 lati del Decagono. L’angolo ai vertici è 144°.
  • Due l’avanzamento p=2 crea due gruppi di diagonali che formano Due Pentagoni dei cinque numeri dispari e pari 1-3-5-7-9 e 2-4-6-8-10. L’angolo al vertice del Pentagono è 144°- 36° = 108°.
  • Tre l’avanzamento p=3 unisce tutti i 10 numeri 1-4-7-10-3-6-9-2-5-8 formando una stella a 10 punte, Il Decalfa o Decagramma. L’angolo al vertice del Decalfa è 108°- 36° = 72°.
  • Quattro l’avanzamento p=4 unisce due gruppi 1-5-9-3-7 e 2-6-10-4-8 formando due Pentalfa o stelle a cinque punte. L’angolo al vertice è 72°- 36° = 36°.
  • Cinque l’avanzamento p=5 unendo i vertici opposti pari e dispari 1-6 e 2-7 e 3-8 e 4-9 e 5-10 forma 5 diagonali, cioè 10 raggi uscenti dal centro.
Figura 2. Doppio pentagono, decalfa , doppio pentalfa
 
 
Indicando con “n” il numero dei lati del poligono regolare, il numero diagonali è d = [n·(n-3)]/ 2=10·7/2=35. Il numero totale “35”delle diagonali in un Decagono, è chiamato Armonia dai Pitagorici perché come il Cinque è ancora matrimonio del primo cubo pari col primo cubo dispari 23+ 33= 35. Il numero 35 è anche il risultato della somma dei quattro termini della proporzione babilonese che servono a individuare le corde del tetracordo di Filolao: 6+8+9+12=35. È il 5° numero pentagonale, che può essere espresso nella forma triangolo più quadrato quarto numero triangolare e quarto numero quadrato: 10+25 = 35.  Le diagonali creano 5 gruppi di cinque 25 e un decalfa, un gruppo di 10.
 
La forma del Decagono appare anche nel perimetro avvolgente nei due solidi Platonici che indicano il Potere maschile dello Spirito dell’Icosaedro e quello femminile del Dodecaedro il potere della creazione della Materia (Madre) dell’Universo.
 
[1] Luciano, Vita auct., 4.
[2] Plutarco, De Iside,  A, 232.
[3] Ta Ciuann, IX, 4.
 
ENDECAGONO
                       
Un endecagono è un poligono con 11 lati e 11 angoli. Il numero undici è il quinto numero primo e il primo numero maestro. La sua forma a undici lati indica un ingresso 10+1 o un portale in quello che potrebbe essere descritto come uno stato mentale spirituale.
 
Gli angoli interni[1] di un endecagono regolare misurano circa 147,27°=147° e 3/11°. Gli 11 triangoli isosceli che formano la sua superficie hanno anch’essi angoli non interi, l’angolo al centro è 360/11=32,272°…  Come per l’eptagono regolare anche l’endecagono regolare non può essere costruito in modo esatto con l’uso di soli, riga e compasso.
Figura 1. Endecagono
 
 
Il numero delle diagonali del poligono a 11 lati è 44, numero che si ricava dalla seguente formula: d = [n· (n-3)]/ 2 = 11· (11-3)/ 2 = 44. Il numero 44 un numero rettangolare 4x11, è anche un numero Maestro, con due cifre uguali. Appartiene alla terna pitagorica 33, 44, 55, che è 11 volte il triangolo sacro rettangolo 3, 4, 5 sacro. Quarantaquattro è l’aspetto femminile o materno di questo triangolo. È il quarto numero ottaedrico, due piramidi a base quadrata comune, 1, 6, 19, 44. Il dio Chronos era circondato da 44 Assistenti, 22 principali e 22 secondari, secondo il fenicio Sanchoniaton. Il pitmene di 44 è, 4+4=8, si riferisce alla forma ottaedrica.
Numerando gli 11 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, si hanno cinque possibili avanzamenti o passi:  
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i confini, gli 11 lati del Endecagono.
  • Due l’avanzamento p=2 crea una stella a 11 punte il primo Endecagramma o poligono stellato.
Figura 2. Poligono Stellato a 11 punte passo 2
 
 
L’endecagono regolare genera sempre un poligono stellato semplice perché il numero dei lati 11 è un numero primo e quindi non ha sottomultipli interi. All’interno di ogni poligono stellato si forma un nucleo che ha la forma del poligono regolare da cui è derivato.
 
  • Tre l’avanzamento p=3 unisce tutti gli 11 vertici formando una stella a 11 punte, il secondo Endecagramma.
  • Quattro l’avanzamento p=4 unisce tutti gli 11 vertici formando una stella a 11 punte, il terzo Endecagramma.
 
Figura 3. Poligoni Stellati a 11 punte  passo 3-4-5
 
                             
  • Cinque l’avanzamento p=5 unisce tutti gli 11 vertici formando una stella a 11 punte, il quarto Endecagramma.
 
Figura 4. Le 44 diagonali dell’Endecagono
 
 
Le 44 diagonali costruiscono quattro poligoni stellati con 11 lati.
 
Il poligono a undici lati è raramente visto in natura. L’antico tempio dedicato all’imperatore romano Augusto sulla collina di Tarraco (oggi Tarragona Spagna), era l’elemento principale del sacro recinto del culto imperiale. Era una piazza di due ettari, delimitata da un portico con un attico decorato con una sequenza di clypeus (cioè scudi monumentali) realizzati con lastre di marmo provenienti dalle cave di Luni-Carrara. L'anello perimetrale del clypeus al cui interno è raffigurato Giove Ammon è delimitato da una sequenza di meandri inscritti in un poligono di 11 lati, un Endecagono. Si è trovato solo un edificio romano che possibile attribuire a una geometria basata sull’endecagono: la tomba a Capua conosciuta come “Le Carceri Vecchie“ ha una base circolare con 22 moduli[2].
[1] La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno due, per l’endecagono 9x180°=1620° essendo 11 gli angoli si ottiene 1620/11.
[2] L'ottagono, l'Endecagono e l’approssimazione di pi: il disegno geometrico del clipeo nel recinto del culto imperiale di Tarraco. Puche, Josep Maria & Toldrà, Josep & Macias Solé, Josep & , Puche & Costa Jover, Agustí & Sola-Morales, Pau & Espallargas, Antoni & Ferré, Albert. (2014).
 
DODECAGONO – ORDINE ZODIACALE
     
Il Dodecagono divide in 12 settori ciascuna di 30° il Cerchio Celeste, individuando così le 12 costellazioni zodiacali. L’angolo fra i lati del Dodecagono 150° coincide col primo numero dei pesci presi nelle reti dagli Apostoli dopo la resurrezione dietro comando di Gesù[1]. A primi 150 se ne aggiunsero 3, per un totale di 153. Per 150 giorni le acque del Diluvio biblico coprirono la terra. Il numero 150 è tre volte Cinquanta. Per Filone, il numero 50, è il più Santo e naturale dei numeri. L’Anno del Giudizio è il Cinquantesimo, che corrisponde al Giubileo della Tradizione Cristiana. Secondo il Libro dei Mutamenti 50 è il numero della Quantità Totale. Nel Vishnu Purana è scritto che la Terra galleggia come un Uovo nello Spazio Infinito. L’estensione della Terra è di 50 crore di yojana. Se si prende in esame il Triangolo Sacro, di lati 3, 4, 5, il numero 50 è il risultato della somma dei quadrati dei tre lati: 32 + 42 + 52 = 50.   
Figura 1. Angoli nel Dodecagono
 

 
Proclo a proposito dei Pitagorici scrive: “Filolao infatti dice che l’angolo del Dodecagono è di Zeus, perché Zeus abbraccia in un tutto unico l’intero numero del Dodici”. Di conseguenza l’angolo del Dodecagono di 150° è dedicato a Zeus, il cui pianeta percorre lo zodiaco in 12 anni passando ogni anno un arco corrispondente a un lato del Dodecagono.
 
Vi sono 12 Ore durante il Giorno e nelle quali si compie la Creazione.[2]
 
Dodici ore di attività per il Giorno, Dodici ore di riposo per la Notte, il significato astronomico è quello della Quattro Stagioni ognuna composta di Tre mesi per un totale di 4x3 =12 mesi. Il numero 12 è sempre associato a un simbolismo circolare. Dodici, secondo il sacerdote babilonese Berosso, erano gli Dei che presiedevano i mesi dell’anno e i segni zodiacali. Dodici sono gli assistenti celesti del Dio Giano. I templi di Giano erano costruiti con base quadrata: su ogni lato del quadrato vi erano una porta e tre finestre, per un totale di Quattro porte e Dodici finestre. Giano, il Sole dei Misteri era rappresentato con il numero 300 in una mano, e il numero 65 nell’altra mano, per un totale di 365, il numero dei giorni dell’anno.
 
Il Quadrato è sempre dovunque considerato il numero della manifestazione Universale. Sallustio nel “Sugli Dei e il Mondo” dice: “E poiché queste funzioni sono quattro, e ciascuna di esse ha principio, mezzo e fine, quelli che hanno giurisdizione su di esse sono,precisamente, in numero di dodici. Gli Dèi che fanno il mondo sono Zeus, Poseidone ed Efesto; lo animano Demetra, Era e Artemide, Apollo, Afrodite e Hermes lo accordano; mentre Hestia, Atena e Ares stanno a guardia”. Gli Dèi che fanno del mondo manifestato sono raggruppati in quattro terne (4x3). Eudosso di Cnido discepolo di Archita[3], dice che i Pitagorici usavano uno schema con quattro triangoli. Quattro triangoli occorrono per congiungere triangolarmente i 12 segni zodiacali, perciò Quattro Dèi sono preposti all’angolo del Triangolo Equilatero; tre triangoli bastano per la congiunzione tetradica dei segni, e quindi tre sono le divinità. Infine, un solo Dodecagono basta a congiungere tutti i segni, e quindi il suo angolo è dedicato a Zeus, divinità planetaria, il cui pianeta percorre lo zodiaco in 12 anni passando ogni anno un arco corrispondente a un lato del Dodecagono. Proclo, dopo aver ricordato che Filolao riferiva Tre Dèi al lato del Quadrato, e Quattro Dèe a quello del Triangolo, sostiene che tale reciprocità (3x4=4x3=12) così stabilita tra il Ternario ed il Quaternario sacri, simboleggiava la sacra Dodecade divina riferita allo stesso Zeus, che rappresenta la sintesi del Cosmo intero; l’astrologia tradizionale divide in dodici parti il cerchio zodiacale per mezzo di Tre Quadrati (secondo la «quadratura») oppure di Quattro Triangoli (secondo il «trigono»).
 
Il numero delle diagonali del poligono a 12 lati è d = [n· (n-3)]/ 2 = 12· (12-3)/ 2 = 54. Il numero 54 è in relazione con 108, essendo la sua metà. Numerando gli 11 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, si hanno sei possibili avanzamenti o passi:
 
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i confini, i 12 lati del Dodecagono.
  • Due l’avanzamento p=2 con 1-3-5-7-9-11 e 2-4-6-8-10-12 crea due poligoni regolari a sei lati uno con i numeri pari, l’altro con i dispari.
  • Tre l’avanzamento p=3 collega i punti 1-4-7-10 e 2-5-8-11 e 3-6-9-12 e crea tre stelle a quattro punte.
  • Quattro l’avanzamento p=4 collega i punti 1-5-9 e 2-6-10 e 3-7-11 e 4-8-14 cioè quattro stelle a tre punte.
Quattro Triangoli occorrono per congiungere triangolarmente i 12 segni zodiacali, perciò Quattro Dei sono preposti all’angolo del Triangolo Equilatero; Tre Triangoli bastano per la congiunzione tetradica dei segni 3x4, e quindi 3 sono le divinità. Infine, un solo Dodecagono basta a congiungere tutti i segni.                                    
 
Figura 2. Dodecagono e Zodiaco
 
 
Il Quadrato e il Dodecagono sono gli unici poligoni che hanno un’area espressa con numeri interi; se inscritti in una circonferenza di raggio unitario le aree valgono rispettivamente 2, 3.
 
  • Cinque l’avanzamento p=5 collega 1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8 e crea una stella a 12 punte.
  • Sei l’avanzamento p=6 collega le sei coppie di vertici opposti sovrapponendosi ai 12 raggi uscenti dal centro.
 
Il Dodecagono ha 54 diagonali: una coppia di stella a sei punte, una stella a dodici punte e tre coppie di stelle a quattro punte 3x4 e quattro coppie di stelle a tre punte 3x4. Il Dodecagono è di Zeus, il suo tempio a Baalbek, in Fenicia, aveva 54 colonne.
 
Figura 3. Le 54 Diagonali del Dodecagono
 
 
In Cambogia Angkor Wat è una rappresentazione dell’universo mitico indù: un continente centrale circondato da sei strisce concentriche di terra una settima di acqua. Angkor Thom, detta “La Grande” è racchiusa da un perimetro esterno ben di sedici chilometri circondato da un fossato pieno d’acqua quattro ponti dividono a metà ciascun lato del quadrato. Sono da segnalare le balaustre esistenti ai lati dei ponti, attraverso i quali si entra ad Angkor Thom. Le quattro entrate sono fiancheggiate da 54 statue gigantesche due file ciascuna composta di 27 coppie di Deva (Dei) e di Asura (Demoni) intenti a tirare il corpo del Serpente (Naga) a Nove teste. Le coppie di Deva e Demoni che frullano l’Oceano di Latte sono vegliate da Quattro enormi volti che inducono alla contemplazione meditativa. Angkor Thom è segnata dai numeri del tempo ciclico.
 
  • Quattro cancelli perfettamente uguali tra loro sormontati da Quattro enormi volti sorridenti orientati verso i rispettivi punti cardinali. Gli Yuga o Età della tradizione indù sono Quattro.
  • A ogni cancello corrisponde un ponte con parapetti, su ogni lato, composti di 54 statue, per un totale di 108.
  • Il numero totale delle statue per i quattro ponti che dividono a metà ogni lato vale, 4x108 = 432, il numero chiave del ciclo.
  • Contando anche le statue del quinto ponte che divide esattamente a meta (un’ottava musicale) un lato del recinto si ottengono 540 statue.
 
Centrale per la sua disposizione, all’interno di Angkor Thom è il Bayon, l’edificio, una piramide a gradini, situato in cima a una struttura più antica, presenta:
  • 54 torri di pietra con Quattro volti, analoghi a quelli che dominano le entrate di Angkor Thom.
  • Quattro volti per torre.
  • Le facce sono in tutto 4x54 = 216 e sono orientate verso i quattro punti cardinali.
  • Proclo, dopo aver ricordato che Filolao riferiva Tre Dèi al lato del Quadrato, e Quattro Dèe a quello del Triangolo, sostiene che tale reciprocità (3 x 4 = 4 x 3 = 12) così stabilita tra il Ternario ed il Quaternario sacri, simboleggiava la sacra Dodecade divina riferita allo stesso Zeus, la quale rappresenta la sintesi del cosmo intero; l’astrologia tradizionale divide in dodici parti il cerchio zodiacale per mezzo di tre quadrati (secondo la «quadratura») oppure di quattro triangoli (secondo il «trigono»).
  • Quattro triangoli occorrono per congiungere triangolarmente i 12 segni zodiacali, perciò quattro Dei sono preposti all’angolo del Triangolo Equilatero; tre triangoli bastano per la congiunzione tetradica dei segni, e quindi tre sono le divinità. Infine, un solo decagono basta a congiungere tutti i segni, e quindi il suo angolo è dedicato a Zeus, divinità planetaria, il cui pianeta percorre lo zodiaco in 12 anni passando ogni anno un arco corrispondente a un lato del Dodecagono, da ciò il mito dei 12 Dei e del loro corteggio al seguito di Zeus [4]. Gli Dèi che fanno il mondo sono Zeus, Poseidone ed Efesto; lo animano Demetra, Era e Artemide; Apollo, Afrodite e Hermes lo accordano; mentre Hestia, Atena e Ares stanno a guardia.
 
[1] Nei Vangeli si narra dell’apparizione agli Apostoli di Gesù risorto sul lago di Tiberiade dove invita Simon Pietro a gettare la rete nel lago.
[2] Talmud, Mishna.
[3] Archita appartenne alla seconda generazione della Scuola Pitagorica ne incarnò i massimi principi secondo l’insegnamento dei suoi maestri Filolao ed Eurito.
[4] http://www.academia.edu/3223101/Rivista_Hellenismo-_Elaphebolion_2789.
IL POLIGONO A 14 LATI – TETRADECAGONO

Il numero 14 è un numero misterico per eccellenza perché rappresenta la Coppia di Sette Potenze, sette per lo Spirito, Sette per la Materia, in totale Quattordici. Il numero 14 è collegato al tempo ciclico. In numero 14 è legato allo scorrere del tempo, nei tempi antichi alla fine dell’anno sacro di 360 giorni, si sommava la settimana di cinque giorni[1], durante i quali il vecchio anno moriva e il nuovo nasceva e si ricostituiva il principio della divinità nel mondo: 360+5 = 365 = 3+6+5 = 14 = 2x7. I poligoni con “n” lati sono generalmente indicati come n-gon, un poligono con 14 lati è un 14-gon. Il poligono a quattordici lati è noto come Tetradecagono, o Tetrakaidecagon, o 14-gon. L’angolo interno al vertice è 154+4/14° = 154+2/7°, mentre l’angoli al vertice del triangolo interno è 360°/7 = 25+10/14° = 25,714...°.
 
Il numero delle diagonali del poligono a 14 lati è d = [n· (n-3)]/ 2 = 14·(14-3)/ 2 = 77. Il numero 54 è in relazione con 108, essendo la sua metà.
 
Figura 1. Tetradecagono 14-gon
 
 
Disponendo uniformemente 14 punti su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, si hanno sei possibili avanzamenti o passi:
 
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i confini, i 14 lati del Tetradecagono.
  • Due l’avanzamento p=2 crea due poligoni regolari a 7 lati uno con i numeri pari, l’altro con i dispari.
  • Tre l’avanzamento p=3 crea una prima stella stelle a 14 punte.
  • Quattro l’avanzamento p=4 crea una seconda stella stelle a 14 punte.
  • Cinque l’avanzamento p=5 crea una terza stella stelle a 14 punte.
  • Sei  l’avanzamento p=6 crea una quarta stella a 14 punte.
  • Sette l’avanzamento p=7 crea i 7 diametri del poliedro, 14 raggi uscenti dal centro della figura.
 
Figura 2. Diagonali poligono 14 lati
 

 
[1] Cinque giorni, cinque i numeri presi a riferimento del 31415 cioè del p.
 
 
IL POLIGONO A 22 LATI – DOICOSAGONO 22-GON

I poligoni con “n” lati sono generalmente indicati come n-gon, un poligono con 22 lati è un 22-gon. Ventidue sono le lettere dell’alfabeto Akkadico, Fenicio, Egizio, Ebraico, Arabo, Aramaico. L’intera creazione e l’intero linguaggio scaturiscono da un’unica combinazione di lettere. Il Sepher Yetzirah ci presenta una creazione armonica in cui Elohim crea usando le 22 lettere: 3 madri, 7 doppie e 12 semplici, dalle cui diverse combinazioni ha origine il molteplice. Il pitmene di 22 è 2+2=4, per informarci che dietro le 22 lettere o suoni vi è l’azione della Tetrade. L’Angelo Metraton lasciò i 22 sentieri dell’Albero della Vita della cabala, le 22 lettere dell’Alfabeto Ebraico, che sono i 22 Arcani dei Tarocchi.
 
Figura 1. Poligono 22-gon
 
Il Doicosagono è un poligono con 22 lati uguali e 12 angoli di (1-2/n)·180°, ciascuno di (20/22)·180°=163,6363…°, un numero con decimali periodici. Il poligono è composto di 22 triangoli isosceli con angolo al vertice 360/22= 16,3636… numero non intero con decimali periodici.
 
Come per l’Eptagono regolare e l’Endecagono regolare non può essere costruito in modo esatto con l’uso di soli riga e compasso, può essere costruito con il metodo neusis, Una soluzione è attribuita addirittura a Platone il quale sembra abbia utilizzato un metodo chiamato neusis che consisteva nello scorrimento e rotazione di aste graduate, fino a soddisfare le condizioni richieste.
 
Il numero delle diagonali nel poligono regolare di 22 lati, si calcola applicando la formula: [n(n-3)]/2 = [22(22-3)]/2 = 22x19/2 = 209. Il pitmene  di 209 è 2+9=11.
Numerando gli 22 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, si hanno undici possibili avanzamenti o passi:
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i 22 vertici del poligono.
  • Due l’avanzamento p=2 crea una coppia di poligoni a 11 lati .
  • Tre l’avanzamento p=3 unisce tutti gli 11 vertici formando una stella a 22 punte.
Tutti i passi che non sono divisori del numero 22 danno luogo a una stella a 22 punte. In totale 9 stelle a 22 punte.
  • Undici l’avanzamento p=11 crea 11 diametri che si sovrappongono ai 22 raggi, la stella a 22 raggi .
 
Elohim crea usando le 22 lettere: 3 madri, 7 doppie e 12 semplici. Il numero dei poligoni è 1+2=3 come le tre madri; il numero delle diagonali che escono dai vertici è n-3=22-3=19, la somma delle sette doppie e 12 semplici.
IL POLIGONO A 28 LATI
 
Il numero 28 era tenuto in grande considerazione dai Pitagorici: è il secondo numero perfetto e il 7° numero triangolare, 1+2+3+4+5+6+7=28. Il 28 è la somma dei primi Cinque Numeri Primi: 2+3+5+7+11=28, è anche la somma dei primi cinque numeri non primi 1+4+6+8+9=28 e probabilmente non c’è altro numero con questa proprietà. L’Antologia Palatina, ha conservato, un dialogo fra Policrate e Pitagora in cui il primo domanda a Pitagora quanti atleti sta conducendo verso la saggezza.
 
Te lo dirò Policrate: la metà studia l’ammirabile scienza delle matematiche, l’eterna natura è oggetto di studi di un quarto, la settima parte si esercita alla meditazione e al silenzio, vi sono in più tre donne di cui Teano è la più distinta. Ecco il numero dei miei allievi che sono ancora quelli delle Muse.
 
La soluzione del problema è appunto 28, infatti: 1/2x + 1/4 x + 1/7 x +3 =28. Pitagora aveva 28 discepoli (25 maschi e 3 femmine) e li condusse verso la Saggezza. La Basilica Pitagorica sotterranea di Porta Maggiore in Roma mostra 28 stucchi funerari della confraternita che conferma che i componenti erano appunto 28. Inoltre 28 è un numero sacro nell’architettura pitagorica. La sfera del Pantheon a Roma è divisa all’interno in 28 meridiani. Sono 28 le colonne e le paraste, disposte sulla circonferenza, che sopportano la trabeazione del primo ordine. Nel Pantheon e nella Colonna Traiana ricorre la partizione della circonferenza rispettivamente in 28 e in 14 parti.
 
Figura 1. Poligono a 28 Lati
 
 
Un icosiottagono (o icosikaioctagon ) o 28-gon è un poligono a ventotto lati. La somma dei suoi angoli interni è di (28-2)x180°=4680 gradi. L’angolo al vertice è 167,143°. Il poliedro può anche essere costruito con un ettagono troncato due volte.
 
Il numero delle diagonali nel poligono regolare di 28 lati, si calcola applicando la formula: [n(n-3)]/2 = [28(28-3)]/2 = 28x25/2 = 350. Il pitmene  di 350 è 3+5=8.
 
Il poligono di 28 lati ha 350 diagonali ossia il decuplo del numero delle diagonali del decagono che ne ha 35. Inoltre il 28° numero tetraedrico è il decuplo del 28° numero triangolare; ed il decimo numero triangolare che è 55 è ad un tempo media armonica e rapporto tra il decimo piramidale a base qua-drata che è 1540 ed il quarto esagonale che è 28. Analogamente l'82 che segue il numero perfetto 81 come il 28 segue il 27, è tale che l'82° tetraedrico è eguale a 28 volte l'82° triangolare: si hanno dunque le due relazioni: F (3, 28) = 10 P (3, 28) : F (3, 82) = 28 P (3, 82).
 
Numerando gli 28 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, si hanno undici possibili avanzamenti o passi:
 
  • Uno l’avanzamento p=1 crea i 28 vertici del poligono.
  • Due l’avanzamento p=2 crea una coppia di poligoni a 14 lati
  • Tre l’avanzamento p=3 crea una prima stella a 28 punte.
  • Quattro l’avanzamento p=4 crea quattro poligoni a sette lati o eptagoni.
I divisori di 28 creano poligoni regolari con lati 28/n, i numeri non divisori creano stelle a 28 punte.
  • Cinque l’avanzamento p=5 crea una seconda stella a 28 punte.
  • Cinque l’avanzamento p=9 crea una terza stella a 28 punte.
  • Undici l’avanzamento p=11 crea una quarta stella a 28 punte.
  • Tredici l’avanzamento p=13 crea una quinta stella a 28 punte.
 

 
Figura 2. Cinque Stelle a 28 Punte
 
 
IL POLIGONO A 56 LATI – DISTRUZIONE DELL’ORDINE COSMICO
 
I poligoni con “n” lati sono generalmente indicati come n-gon, un poligono con 56 lati è un 56-gon.
 
Figura 1. Poligono a 56 Lati
 
 
Contrapposto all’ordine cosmico di Zeus vi era il disordine di Tifone, e a questo proposito Plutarco[1] scrive: “Anche i Pitagorici considerano potenza demonica Tifone. Dicono infatti che Tifone sta nel numero cinquantasei, misura pari: e poi che l’angolo del triangolo (30°) è di Ade e di Dioniso e di Ares, quello del quadrato (90°) di Rea e d’Afrodite e di Demetra e di Hestia e di Era, quello del Dodecagono (150°) di Zeus, mentre quello del poligono di cinquantasei lati (173,57…°) di Tifone[2], secondo quanto racconta Eudosso”.
 
Il Dodecagono di Zeus è un poligono con 12 lati uguali e 12 angoli di (1-2/n)·180°, ciascuno di (10/12)·180°=150°, un numero intero. Il poligono a 56 lati appartiene a Tifone. Plutarco spiega che Tifone, per gli egizi è Seth il fratello oscuro di Osiride, che rappresenta qualcosa di violento, una forza che trattiene e ostacola, o un’oppressione o un rovesciamento. Il poligono di 56 lati di Tifone (la potenza distruttiva) ha angoli di 55/56·180°=173,5714286° cioè numeri non interi.
 
Il pitmene di 56 è 5+6=11, uno dei sei numeri primi che lo compongono, che mette l’accento sulla dualità della lotta, Tifone e Osiride, Disordine e Ordine ecc. Plutarco che fu istruito dai sacerdoti egizi, spiega che Tifone o Seth è la controparte oscura di Osiride, qualcosa di violento, una forza che trattiene e ostacola, un’oppressione o un rovesciamento. Zeus e Tifone, Osiride e Seth, si combattono fra loro ma nessuno dei due può annientare l’altro, il primo rappresenta la formazione di un Cosmo ordinato, il secondo la sua distruzione, per una sua successiva formazione. Plutarco ci dice che per i sacerdoti egizi, Tifone è il mare in cui il Nilo cioè Osiride si getta e si disperde completamente.
 
Il numero delle diagonali nel poligono regolare di 56 lati, si calcola applicando la formula: [n(n-3)]/2 = [56 (56-3)]/2 = 56x53/2 = 1484. Il poligono di Tifone ha 1484 diagonali, numero che è scomponibile in 28x53, il tempo lunare 28 per il 53 l’ipotenusa (il Figlio) del triangolo rettangolo pitagorico 45, 28, 53, dove il Padre è il numero 45, la somma dei 9 numeri monadici, e la Madre è il numero 28, il ciclo lunare. Riducendo il numero 1484 si ottiene 1+4+8+4 = 17, due gruppi di otto più un’unità. Diciassette per i Pitagorici era l’arresto.
 
Numerando i 56 punti disposti uniformemente su una circonferenza, indicando con “p” il passo, cioè l’avanzamento tra i vari punti, si hanno 28 possibili passi:
 
  • Due l’avanzamento p=2 crea due poligoni a 28 lati uno con i numeri pari, l’altro con i dispari.
 
Osiride secondo quanto riferito da Plutarco fu smembrato in 14 (2x7) parti da Seth e il suo regno durò 28 anni. Nel mese lunare di 28[3] giorni, ogni settimana ha un suo carattere occulto. In Egitto, il Defunto, nome dell’Iniziato acquisiva ventotto facoltà o poteri sulla Materia. Osiride era chiamato il Doppio Coccodrillo[4], il doppio principio Spirito e Materia, Bene e Male che maschera il Signore del Tempo, crudele e inflessibile che al pari di Kronos alla fine di ogni ciclo distruggerà ogni opera. Il regno il tempo luminoso di Osiride dura 28 cicli che sommanti a quelli del suo fratello oscuro durano complessivamente 28x2=56 cicli. Il numero 56 dei lati del poligono di Tifone corrisponde a due mesi lunari
 
  • Tre l’avanzamento p=3 collega i tutti punti e crea una stella a 56 punte.
  • Quattro l’avanzamento p=4 crea quattro serie di 14 punti cioè 4 stelle a 14 punte.
  • Cinque l’avanzamento p=5 collega i tutti punti e crea una diversa stella a 56 punte.
 
Tutti i passi che non sono divisori del numero 56 danno luogo a un’unica stella a 56 punte. Prenderemo in considerazione solo i più interessanti.
 
  • Sette l’avanzamento p=7 collega i tutti punti e crea 8 stelle a 7 punte.
 
Il Primo Triangolo o Ternario genera attraverso il Quadrato per moltiplicazione in Quattro sequenze i 12 vertici del Dodecagono. L’Epatagono genera attraverso il Quadrato per moltiplicazione in Quattro sequenze i 28 vertici del poligono del tempo di Osiride. Dicevano i Pitagorici che per mezzo dell’Eptagono, tutto nell’Universo, era portato al punto culminante e conclusivo. Quattro Eptagoni (4x7) formano una stella a 28 punte per il tempo di Osiride. “II mondo di Pitagora” afferma Plutarco, consiste di un doppio Quaternario (Quadrato). Quattro Eptagoni (una stella a 28 punte4x7) per il tempo di Osiride, Quattro Eptagoni (una stella capovolta a 28 punte 4x7) per il tempo di Seth-Tifone, in totale Otto Eptagoni 8x7.
 
  • Otto l’avanzamento p=8 collega i tutti punti e crea 7 stelle a 8 punte.     
 
Un ciclo lunare completo composto di 8 settimane (7x8); otto rappresenta il doppio quadrato del male e del bene. Il tempio di iniziazione per eccellenza in Egitto era la Grande Piramide[5]. Tutti i corridoi della piramide sono larghi due cubiti, per indicare il percorso nella dualità: bene-male, positivo-negativo, maschio-femmina, ecc. Il Cubito è il fondamento delle misure egizie: dapprima è diviso in sette parti, un palmo ad immagine delle sette stelle[6], e poi per determinare i pollici seguì la divisione per quattro 7x4 = 28. Il numero Quattro è il numero della perfezione divina, più in generale, è il numero dello sviluppo completo della manifestazione, il simbolo del mondo stabilizzato.
 
  • Dodici l’avanzamento p=12 crea 4 stelle a 14 punte diverse da p=4.
  • Quattordici l’avanzamento p=14 crea 14 stelle a 4 punte
  • Ventotto l’avanzamento p=28 crea 28 diametri che si sovrappongono ai 56 raggi uscenti dal centro.
 
Il numero 56 dei lati del poligono di Tifone corrisponde a due mesi lunari, cioè un ciclo lunare completo[7] composto di 4x2 settimane. Sappiamo che Pitagora fu istruito in Sapienza per ben 22 anni in Egitto. La dea Kep delle Sette stelle dell’Orsa Maggiore era per gli egizi la Madre del Tempo e della sua divisione settenaria. Le parole Kepti e Sebti erano usate per designare il tempo e il numero Sette. Il figlio della dea Sevekh (Kronos) era chiamato settimo o sette, il cui simbolo era il Coccodrillo Celeste. Osiride era chiamato il Doppio Coccodrillo[8], il doppio principio Spirito e Materia, Bene e Male, e come tale era il Sole del giorno e quello della Notte, il divino e il mortale. Le sette stelle Dell’Orsa Maggiore durante la loro rivoluzione annua descrivono un cerchio nel cielo superiore e in quello inferiore. Quando poi il tutto fu spezzato in qattro parti si ebbe lo zodiaco lunare di 28 segni. Nel mese lunare di 28[9] giorni, ogni settimana ha un suo carattere occulto. Il Defunto, l’Iniziato che diventava un Coccodrillo (Drago, Serpente) acquisiva ventotto facoltà o poteri sulla Materia. Il numero 56 per i Pitagorici è abbondante, poiché la somma dei relativi divisori è maggiore del numero stesso: 64 > 56. Nonostante che 56 sia un numero pari è la somma di sei numeri primi successivi, 56 = 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17.  Zeus e Tifone si combattono fra loro ma nessuno dei due può annientare l’altro, il primo rappresenta la formazione di un Cosmo ordinato, il secondo la sua distruzione, per una sua successiva formazione.
 
Il numero degli arcani minori nei tarocchi è 56, che rappresentano lo svolgersi della vita. Nei mazzi moderni le cinquantasei carte, sono divise in 4 semi: coppe (Acqua), denari (Terra), bastoni (Fuoco) e spade (Aria). Ogni seme comprende le carte dall’Asso al 10 e le cosiddette carte di Corte, cioè il Fante, il Cavaliere, il Re e la Regina 14x4=56.
 
Sappiamo che tracciare un ettagono regolare - e a maggior ragione un poligono a 56 lati - non è possibile con pioli e corde, se non uno fa uso di un righello graduato, o marcato, realizzando ciò che è chiamato in gergo una costruzione neusis. Recentemente è stata scoperta una stretta approssimazione con un errore dello 0,05% che potrebbe essere stata usata a Stonehenge, ed è costruibile se si usa la trisezione dell’angolo consentita poiché: 56 = 8×7 = 23x7. L’archeologo Anthony Johnson[10] ricercatore Università di Oxford sostiene che Stonehenge fu progettata impiegando complessi sistemi geometrici come la realizzazione all’interno del perimetro del terrapieno di un cerchio del diametro di circa 87 m segnato da piccoli pozzi riempiti con gesso che segnano i punti di un poligono di 56 lati. L’archeologo per dimostrare la costrizione del poligono a 56 lati si è munito di corde e picchetti.
 
  • Passo 1: l’archeologo segna quattro punti sulla circonferenza per creare un quadrato, poi un secondo quadrato ruotato di 45°, individuando i primi otto punti del 56-gon.
  • Passo 2: con una corda ha tracciato dal vertice più in alto “A” un diametro verticale, chiamando “C” il punto d’intersezione del diametro con il secondo quadrato. Ha unito il punto “C” con il punto “B” nato dall’intersezione dei due quadrati. Il segmento BC  è realizzato con una corda tra i picchetti B e C.
 
Figura 2. Costruzione di Anthony Johnson, Alberto Pimpinelli del poligono 56 lati
 
 
  • Passo 3: Posizionando il perno del compasso nel punto B, con apertura o raggio nel punto C, si traccia un cerchio di raggio BC.
  • Passo 4: Dove il nuovo cerchio taglia il primo cerchio, s’individuano due punti D1e D2, che fanno parte del poliedro.
  • Passo 5: Lo stesso del passo 4, dal punto B1 speculare simmetrico di B. Si trovano altri due punti, in totale 12.
  • Passo 6: Si ripetono per gli altri punti speculari gli stessi passaggi 4 e 5 e si ottengono altri punti. I 24 punti contrassegnati sono i vertici del poligono a 56 lati.
 
Così facendo Anthony Johnson, Alberto Pimpinelli hanno dimostrato che andando avanti si potevano ottenere vasti e complessi poligoni come quello di 56 lati. Il fatto sorprendente è che la figura complessa era ottenibile solo esclusivamente intersecando un cerchio e un quadrato[11].
[1] Plutarco de Iside e Osiride, 30 p. 363 A.
[2] Dei primi 100 poligoni regolari solo 20 possono essere costruiti con riga e compasso; l’utilizzo del righello al posto della riga ha esteso a 44 il numero di poligoni costruibili tra i primi 100. Restano irrisolte le costruibilità dei poligoni con numero di lati numero come quelli con 11, 13, 19, 23 … ben 56 poligoni nei primi 100.
[3] La rotazione del sole sul suo asse viene osservata dalla terra in un ciclo di 28 giorni, in modo tale che il nostro pianeta riceve una pioggia di particelle ionizzate positivamente e negativamente con un’alternanza di 7 giorni.
[4] Libro dei Morti, CXLII; 8,17.
[5] Nella Grande Piramide non fu mai trovata alcuna mummia né tracce di sepoltura.
[6] La dea Kep delle Sette stelle dell’Orsa Maggiore era per gli egizi la   Madre del Tempo e della sua divisione settenaria.
[7] Nella manifestazione tutto è doppio, Attività e Riposo, Giorno e Notte ne sono i simboli. Il corpo di Osiride fu diviso in 2x7 parti. Gli Orfici narrarono che Due Titani si divisero le sette parti del corpo di Dioniso Zagreo per un totale di 2x7 parti.
[8] Libro dei Morti, CXLII; 8,17.
[9] La rotazione del sole sul suo asse viene osservata dalla terra in un ciclo di 28 giorni, in modo tale che il nostro pianeta riceve una pioggia di particelle ionizzate positivamente e negativamente con un’alternanza di 7 giorni.
[10] Anthony Johnson, Alberto Pimpinelli - Pioli e corde: geometria a Stonehenge.
[11] Cristiana Barandoni “I Misteri dell’archeologia – storia e segreti”. Newton Compton Editori.
 
IL CERCHIO DI RAGGIO 56 E IL PENTAGONO INSCRITTO
 
 
Plutarco ci informa che il numero 56 rappresenta i lati del poligono associato a Tifone. Sappiamo che Pitagora fu istruito in Sapienza per ben 22 anni in Egitto. Il numero 56=2x28 corrisponde a due mesi lunari, cioè un ciclo lunare completo composto di 2x4 settimane. Osiride era chiamato il Doppio Coccodrillo, cioè il doppio principio, Spirito e Materia, Bene e Male, e come tale era il Sole del giorno e quello della Notte, il divino e il mortale. Nel mese lunare di 28 giorni, ogni settimana ha un suo carattere occulto. Il Defunto, l’Iniziato che diventava un Coccodrillo (Drago, Serpente) acquisiva ventotto facoltà o poteri sulla Materia. In un cerchio di raggio 56, il lato del pentagono inscritto vale 66. I cinque triangoli isosceli che compongono il pentagono hanno base 66 e lati 56. Volendo essere precisi, il raggio effettivo del cerchio che circoscrive il pentagono di lato 66 dovrebbe essere 56,14 se approssimato a 56 si commette un errore 0,25%.  In un cerchio di raggio 56 il lato di un esagono inscritto è 56, l’Esagono è in relazione con il Macrocosmo, mentre il Pentagono è in relazione con il Microcosmo, l’Uomo.
 
Figura 1. Relazione geometrica tra i numeri 56 e 66.                                                                                                                                                                                                        
 
Tra tutti i triangoli rettangoli, quello egizio di lati 3-4-5, esprime due cateti perpendicolari antagonisti, il 3 Il Cielo, il Padre e il 4, la Terra, la Madre, riconciliati da un segmento obliquo, l’ipotenusa, il numero 5 il Figlio, l’Uomo. Apollo fu soprannominato Loxios (l’Obliquo), un epiteto che può contenere il suo ruolo di Mediatore Divino, oltre che al carattere allusivo dei suoi oracoli. Quando il Cielo diventa un Cerchio e la Terra, un Quadrato, l’unica forma geometrica che può svolgere un ruolo di Mediatore tra il Cerchio, e il Quadrato, dovrebbe logicamente essere il Pentagono, la forma geometrica del numero 5, del Mediatore. Il numero 66 il lato del Pentagono è la corda di Apollo, del Mediatore. Il sei evoca le direzioni dello spazio 66 come 666 è un numero e solare. Il numero 56 è il primo multiplo di 28, che rappresenta il mese lunare.
 
André Charpentier nei “Misteri del Pantheon di Roma” scrive giustamente che non essendoci manoscritti sull’antico insegnamento occorre trovare le tracce nella pietra degli antichi monumenti e edifici sacri. Il Pantheon[1] di Adriano in Roma il tempio circolare, un libro di pietra è l’unico monumento antichità che è sopravvissuto quasi intatto. Ora le parole latine Orbis e Urbs sono simili. L’edificio del Pantheon è inscrivibile in una sfera perfetta: l’altezza dell’edificio è uguale al suo diametro e misura 43,44 m per 43,44 m, corrispondente a 150 piedi romani. La cupola del Pantheon[2] di Roma è costituita da 5 ordini degradanti di 28 cassettoni. Altri cinque ordini invisibili occupano posto nella metà inferiore della sfera, in totale abbiamo il numero dell’altezza della Grande Piramide 5x2x28=5x56=280 cubiti reali. La quinta parte dell’altezza in CR della Grande Piramide fornisce il numero 56.
 
Figura 2. Sezione verticale del Pantheon
 
 
Il numero 56 è legato alla sfera e al cerchio. La Basilica pitagorica sotterranea di Porta Maggiore in Roma attesta la presenza dei Pitagorici in epoca imperiale. I costruttori, appartenenti ai Collegia Fabrorum, vollero dissimulare le misure sacre, perciò non espressero in piedi romani le misure misteriche, ma solo attraverso le proporzioni. Il fatto che Adriano non abbia voluto dare il suo nome per il Tempio ricostruito è un valido esempio di anonimato della tradizione misterica, in seguito osservato dai costruttori di cattedrali gotiche[3].
 
Il pronao del tempio è composto di due gruppi di colonne: una fila di 8 colonne di granito grigio esterne, e quattro gruppi di due colonne interne 2x4 di granito rosa, in totale 16 colonne. L’interno della cupola è retto da 8 pilastri vuoti formati nella parete della rotonda, che segnano gli otto angoli di un ottagono inscritto. Ricorre il numero 8 templare e pitagorico. Queste particolari colonne cave, non hanno la forma di colonne regolari ma semicilindrica, e loro curvatura rivolta verso l’interno dell’edificio, quindi nella direzione opposta della spinta. Il Pantheon come la cattedrale gotica, è basato sul vuoto, in modo da soddisfare il principio di economia che governa l’ordine naturale. La rosa dei venti è ottagonale, attraverso queste camere verticali vuole idealmente spirano gli otto venti dello Spirito.
 
Il matrimonio simbolico tra Pallade Atena, il cui numero era 7, e le 8 colonne generano 7x8=56, il valore del raggio della cupola. La facciata del Pantheon ha otto colonne separate da sette porte. Il 56 è un numero chiave sia nelle misure della Grande Piramide e sia nelle misure Templari in cubiti reali.
 
André Charpentier[4] ritrova la chiave numerica nel Pantheon e nelle opere di Virgilio che fortunatamente hanno ricevuto un’eccezionale protezione. Ciò che è necessario, si domanda Andrè Charpentier, è trovare quei numeri che mettono in relazione il doppio quadrato, il cerchio e il mediatore, il pentagono. Il Naos la Casa del Dio, era realizzato con un Doppio Quadrato.
 
I Quattro canti delle Georgiche di Virgilio comprendono 2178 versi. L’opera è una sorta di dittico, composta di 1089 (metà del 2178) versi. Ora, poiché 1089 è il quadrato di 33, “Le Georgiche”, valgono il doppio del quadrato di 33, e quindi sono letteralmente incluse in un doppio quadrato, che è appunto la parte rettangolare del Pantheon. L’area del doppio quadrato vale 2x33x33=33x66=2178. Il doppio quadrato 66x33 del Pantheon diviene la misura di riferimento, un modello geometrico.
 
Virgilio nell’Eneide scrive 9900 versi, ora 99 è tre volte 33. L’area del Cerchio Celeste è 9900. Assegnando al numero π il valore approssimato 22/7 stabilito dal Neopitagorico Archimede, per il cerchio di superficie 9900, troviamo che il suo diametro vale 112, e il raggio 56. La figura geometrica di partenza è il Cerchio di raggio 56 e il Pentagono e in esso inscritto di lato 66 e il mistico Naos, il Doppio Quadrato. Il lato del pentagono 66 è fatto coincidere con il lato della dualità del doppio quadrato, vedi figura seguente. Si ricava che tutte le seguenti superfici sono multiple del numero 33.
 
Figura 3. Il Pantheon – la misura del Mediatore Celeste
 
Dante che apparteneva ai Fedeli d’Amore molto vicini ai Templari, scrive la Divina Commedia con moduli di 33 strofe e pone come suo Maestro Virgilio. La Commedia ha, infatti, oltre ad un brano introduttivo, 99 brani divisi in 3 gruppi di 33 (Inferno, Purgatorio, Paradiso). L’opera è scritta in triplette di 11 sillabe, in modo che ogni conteggio di 33 sillabe. Inoltre, il Paradiso si apre con un inno ad Apollo, al Mediatore, simbolicamente al numero cinque, in epoca cristiana.
 
  • L’area del cerchio di raggio 56 (valore esatto 56,14) è 9900=33x300.
  • L’area del pentagramma[5] cioè della stella a cinque punte è 3300=33x100.
  • L’area del pentagono calcolata sommando cinque triangoli del pentagono è 7425=5x45x33=33x225.
  • L’area del triangolo sotteso alla base del pentagramma stellato è 825=33x25.
  • L’area della luna tra il pentagono e il cerchio è 405=33x15.
  • L’area del doppio quadrato è 2178=33x66.
 
In un cerchio di raggio 56, il lato del pentagono inscritto vale 66. I cinque triangoli isosceli che compongono il pentagono hanno base 66 e lati 56. Il lato di 66 è contemporaneamente: lato del Pentagono, corda del cerchio celeste, lato maggiore del doppio quadrato della Terra. Sintesi triplice perfetta: la misura comune applicata dal Mediatore Cosmico. La misura della Terra è 33 e attraverso il suo doppio 66 si passa all’Uomo, il Mediatore tra il Cielo e la Terra.
 
La somma dell’area del triangolo con il doppio quadrato dello spazio sacro è 825+2178=3003 l’alias del numero apollineo 33. Il numero 3003 riserva un’altra sorpresa è il 77° numero triangolare. La figura geometrica del doppio quadrato sormontato dal triangolo ricorda la vista frontale di un tempio greco. Questa figura geometrica la ritroviamo nel Pantheon di Roma. Nel modello greco del Tempio manca l’immagine del cielo, che è stata aggiunta nella forma della famosa cupola (il cerchio). Il doppio quadrato è rappresentato dal numero 825 cioè 8+2+5=15, il triangolo è rappresentato da numero 2178 cioè 2+1+7+8=18, la somma dei due numeri ci riporta alla misura della Terra: 14+18=33.
 
I numeri 66 e 56 che determinano le proporzioni della figura, sono il doppio di 33 e 28, i rispettivi numeri del Sole e della Luna. Il percorso annuale del sole attraverso lo zodiaco è rappresentato con tutte le sue implicazioni. Il Sole è la spina dorsale del nostro universo, e le sue 33 stazioni corrispondono al Macrocosmico, le 33 vertebre umane corrispondono a microcosmo. Durante il mese lunare di 28 giorni, la luna passa attraverso 28 costellazioni. Il numero 28 è il 7° numero triangolare! Pitagora aveva 28 discepoli (25 maschi e 3 femmine) e li condusse verso la Saggezza. La Basilica pitagorica sotterranea di Porta Maggiore in Roma mostra 28 stucchi funerari della confraternita che conferma che i membri erano appunto 28. Inoltre 28 è un numero sacro nell’architettura pitagorica. Il numero 33 è la Tetractis fattoriale 33 = 1! + 2! + 3! + 4! Il numero trentatré ha la proprietà di essere scomposto sia con la coppia di numeri della Monade e della Diade: 33 = 12+21 e sia con i numeri della Monade e della Diade alla quinta potenza: 33 = 15+25. Quest’ultima relazione lega il 33 con il numero 5. Riepilogando il numero 33 è:
  • 33 = 1! + 2! + 3! + 4! La Tetractis fattoriale
  • 33 = 12+21
  • 33 = 15+25.
 
Il numero 6 è associato alla creazione nel mondo della forma tramite le sei direzioni dello spazio è il 3° numero triangolare. Il numero 66 è anch’esso associato alla creazione, è l’11° numero triangolare, mentre il numero 666 è il 36° numero triangolare. Il triangolo per i Pitagorici era la prima forma geometrica, la forma astratta dell’atomo, i numeri triangolari hanno un rapporto privilegiato con la forma primordiale. In questo studio abbiamo trovato che:
 
  • Il numero 6 è il 3° numero triangolare.
  • Il numero 28 è il 7° numero triangolare.
  • Il numero 66 è l’11° numero triangolare.
  • Il numero 666 è il 36° numero triangolare.
 
Il numero del Tempio 2178+825=3003 è il 77° numero triangolare. Il numero 77 si ripresenta più volte nell’insegnamento cristiano e ridotto diviene 7+7=14, una coppia di sette. Il numero 77 è la rappresentazione del sette 4+3=7, attraverso il 7° numero un quadratico sommato al 7° numero triangolare, 49+28=77. Visivamente un quadrato di lato 7 sormontato da un triangolo di lato 7. Il numero Sette era per i Pitagorici sacro a Minerva (Pallade Atena), la Sapienza Misterica.

----------------------------------------------------------
 
[1] Il Pantheon in epoca imperiale aveva completamente sostituito il primitivo Tempio circolare di Vesta nel centro di Roma, cioè in posizione assiale. La lancia verticale di Vesta è l’Asse del Mondo.
[2] La cupola era dedicata a Pallade Atena, la Conoscenza Arcana, il cui numero era Sette, considerato vergine, proprio come Pallade. Come Vesta anche Pallade era raffigurata con una lancia nella mano destra.
[3] Prima di lui, Agrippa aveva trasgredito a questa regola in apparenza. In effetti, la dedica sul frontale, non è un segno di appropriazione individuale, ma una semplice indicazione cronologica, il nome del console per la datazione l’anno di fondazione. AGRIPPA TERTIUM COS (Terzo consolato di Agrippa) si riferisce quindi semplicemente all’anno 27 a.C.
[4] André Charpentier: I Misteri del Pantheon di Roma, L’eredità di Pitagora e D’Archimede. http://symbolos-fg.com/Paginas/Pantheon.html.  
[5] La geometria ci insegna che il pentagramma occupa 1/3 del cerchio in cui opera.  
Torna ai contenuti